Ricerca estremi liberi - funzione a 3 variabili
Ciao. Ho provato a risolvere un esercizio sulla ricerca degli estremi liberi per una funzione a 3 variabili, ma ho avuto qualche difficoltà. Ho provato a dare un occhio ad un post precedente ma ho ancora diversi dubbi a riguardo.
L'esercizio mi chiede di trovare gli estremi liberi per la seguente funzione $ f(x,y,z) = z^2(x^3-3x-y^2+z) $
Ora, per la risoluzione ho calcolato il gradiente di f e risolto il sistema per trovare i punti stazionari e, salvo errori, dovrebbe annullarsi nei punti $P_1(x,y,0) , P_2(\pm1,0,0) , P_3 (\pm1,0,4/3)$.
Ho quindi calcolato le derivate seconde e la matrice hessiana in questi punti e successivamente ho ricavato gli autovalori della matrice.
- Per $P_3$ ho trovato autovalori discordi, quindi concludo che è un punto di sella (per entrambi i casi $\pm1$)
- Per $P_1$ e $P_2$ invece ho che le matrici sono semidefinite positive oppure negative, a seconda del segno di x e y.
Ora mi chiedo. Esistono dei metodi che permettono di studiare la natura dei punti in casi di matrici hessiane semidefinite, anche nel caso in cui ci si trovi ad avere un luogo di punti da studiare (es un piano (x,y,0))? Inizialmente ho pensato di usare un metodo tipo "studio del segno" come si fa con le funzioni a 2 variabili, ma in questo caso non riuscendo a rappresentare la funzione ho avuto qualche difficoltà.
Qualcuno ha qualche idea? Grazie in anticipo!
L'esercizio mi chiede di trovare gli estremi liberi per la seguente funzione $ f(x,y,z) = z^2(x^3-3x-y^2+z) $
Ora, per la risoluzione ho calcolato il gradiente di f e risolto il sistema per trovare i punti stazionari e, salvo errori, dovrebbe annullarsi nei punti $P_1(x,y,0) , P_2(\pm1,0,0) , P_3 (\pm1,0,4/3)$.
Ho quindi calcolato le derivate seconde e la matrice hessiana in questi punti e successivamente ho ricavato gli autovalori della matrice.
- Per $P_3$ ho trovato autovalori discordi, quindi concludo che è un punto di sella (per entrambi i casi $\pm1$)
- Per $P_1$ e $P_2$ invece ho che le matrici sono semidefinite positive oppure negative, a seconda del segno di x e y.
Ora mi chiedo. Esistono dei metodi che permettono di studiare la natura dei punti in casi di matrici hessiane semidefinite, anche nel caso in cui ci si trovi ad avere un luogo di punti da studiare (es un piano (x,y,0))? Inizialmente ho pensato di usare un metodo tipo "studio del segno" come si fa con le funzioni a 2 variabili, ma in questo caso non riuscendo a rappresentare la funzione ho avuto qualche difficoltà.
Qualcuno ha qualche idea? Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, ti ringrazio molto per la risposta. Mi hai chiarito alcuni dubbi e soprattutto mi sono reso conto di aver fatto alcuni errori di calcolo.
Riguardo all'ultima parte della tua risposta
Dopo aver pubblicato il post mi sono messo a ragionare ed ho provato a studiare i punti stazionari giacenti sul piano $\pi : (x,y,0)$.
Per prima cosa ho fatto lo studio del segno di $f$ su due piani adiacenti a $\pi$, ovvero $(x,y,a)$ e $(x,y,-a)$.
Quello che mi risulta è che $f \geq 0$ per $x^3 - 3x \pm a \geq y^2 $, ovvero $\-sqrt(x^3 - 3x \pm a) \leq y \leq \sqrt(x^3 - 3x \pm a) $.
Questo significa che, rispetto ai grafici (volevo inserire un grafico ma ho avuto qualche problema con Java), per $y \geq 0$ i punti che stanno "sotto" le curve sono positivi, mentre quelli che stanno "sopra" le curve sono negativi, viceversa per $y \leq 0$.
Ora, la differenza tra le due condizioni: $x^3 - 3x + a \geq y^2 $ e $x^3 - 3x - a \geq y^2 $ è che le curve tendono a "dilatarsi" al crescere di a, quindi ad "aumentare" le zone del piano positive rispetto a quelle negative.
Ho quindi concluso che:
1) I punti "all'interno delle curve", quindi che rispettano la condizione $\-sqrt(x^3 - 3x) \leq y \leq \sqrt(x^3 - 3x) $, sono sempre positivi e dunque sono tutti punti di minimo
2) quelli all' "esterno" di contro saranno di massimo.
3) Quelli invece che giacciono sulla curva, dato che qui la funzione cambia di segno, ho che non sono punti estremanti.
Può aver senso questo procedimento?
Spero di non aver scritto delle boiate pazzesche, in questo esercizio la fantasia ha preso il sopravvento.
Riguardo all'ultima parte della tua risposta
Ebbene, per dirimere quest'ultima ambiguità non rimane che eseguire uno studio locale della funzione f.
Dopo aver pubblicato il post mi sono messo a ragionare ed ho provato a studiare i punti stazionari giacenti sul piano $\pi : (x,y,0)$.
Per prima cosa ho fatto lo studio del segno di $f$ su due piani adiacenti a $\pi$, ovvero $(x,y,a)$ e $(x,y,-a)$.
Quello che mi risulta è che $f \geq 0$ per $x^3 - 3x \pm a \geq y^2 $, ovvero $\-sqrt(x^3 - 3x \pm a) \leq y \leq \sqrt(x^3 - 3x \pm a) $.
Questo significa che, rispetto ai grafici (volevo inserire un grafico ma ho avuto qualche problema con Java), per $y \geq 0$ i punti che stanno "sotto" le curve sono positivi, mentre quelli che stanno "sopra" le curve sono negativi, viceversa per $y \leq 0$.
Ora, la differenza tra le due condizioni: $x^3 - 3x + a \geq y^2 $ e $x^3 - 3x - a \geq y^2 $ è che le curve tendono a "dilatarsi" al crescere di a, quindi ad "aumentare" le zone del piano positive rispetto a quelle negative.
Ho quindi concluso che:
1) I punti "all'interno delle curve", quindi che rispettano la condizione $\-sqrt(x^3 - 3x) \leq y \leq \sqrt(x^3 - 3x) $, sono sempre positivi e dunque sono tutti punti di minimo
2) quelli all' "esterno" di contro saranno di massimo.
3) Quelli invece che giacciono sulla curva, dato che qui la funzione cambia di segno, ho che non sono punti estremanti.
Può aver senso questo procedimento?
Spero di non aver scritto delle boiate pazzesche, in questo esercizio la fantasia ha preso il sopravvento.
Ciao, direi che ora mi è tutto molto più chiaro. Grazie.
Il grafico è uguale a quello che avevo disegnato io, questo mi conforta. Devo fare un po' più attenzione agli errori vari durante lo svolgimento.
Grazie ancora!
Il grafico è uguale a quello che avevo disegnato io, questo mi conforta. Devo fare un po' più attenzione agli errori vari durante lo svolgimento.
Grazie ancora!
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