Ricerca estremi assoluti

[Barba2]

Salve ragazzi mi sono bloccato, l'esercizio è questo:

$ f(x)=((x-y-1)y)/(x^2+y^2+1) $

Determinare gli estremi assoluti sulla frontiera $ Gamma $ dell'insieme $T$ delimitato dalla retta $y=0$, dalla retta $x+y=1$ e dalla retta $-x+y=1$

Ho iniziato trovandomi i punti critici, ovvero calcolando le derivate parziali della funzione:

$ f_x= (y (1-x^2+y^2+2x(1+y)))/(1+x^2+y^2)^2 $

$ f_y= (-1+x+x^3-2 y+y^2-x y^2-x^2 (1+2 y))/(1+x^2+y^2)^2 $

e ponendole a sistema uguali a 0:

$ { ( (y (1-x^2+y^2+2x(1+y)))/(1+x^2+y^2)^2=0 ),( (-1+x+x^3-2 y+y^2-x y^2-x^2 (1+2 y))/(1+x^2+y^2)^2=0 ):} $

Ed è proprio qui che non so come risolvere questo ...benedetto sistema. Chi mi può aiutare? Grazie a chi mi risponderà

[Barba2]

"TeM":Metodo di addizione is the way!!

hmm non ci avevo pensato, potresti mostrarmi come procedere?

[Barba2]

"TeM":Devi semplicemente sommare le due equazioni poste a sistema (membro a membro). In questo caso tale operazione è di estrema utilità in quanto a quel punto riuscirai a fattorizzare il numeratore e quindi a determinare con estrema facilità i punti critici di \(f\).

Sto provando a risolvere ma non ne vengo a capo.
Tralasciando il denominatore che verrà posto $!=0$, sto cercando di eliminare qualche termine.
Per esempio provo a moltiplicare la prima equazione per $-2$ per eliminare il termine $x^2y$

$ { ( -2y^3+2x^2y-4xy^2-4xy-2y=0 ),( x^3-2x^2y-xy^2-x^2+y^2+x-2y-1=0 ):} $

e sommo membro a membro:

$x^3-2y^3-5y^2-x^2-x^2y^2-4xy+x-4y=0$

Ora mi ritrovo con questa e non so che farci

[Barba2]

Wow bravissimo, ora si che ci siamo! Mi è chiaro tutto tranne come hai fatto a scomporre in quel modo la $f_y(x,y)$ all'inizio ma con il sistema finale sono riuscito a trovare le soluzioni: $(1,0), (1+-sqrt(3))$

Grazie mille!!

[Barba2]

Ok perfetto, chiarissimo come al solito. Grazie