Ricerca dominio di funzione

[bad.alex]

ho delle difficoltà con lo studio della funzione:
$|(x-1)/x|e^(1/x)$.
Per vedere se ci sono asintoti devo calcolarmi i limiti agli estremi. ma nel momento dell'analisi del dominio ritrovo delle difficoltà a causa della "scomposizione" della funzione nelle equazioni corrispondenti senza valore assoluto.
vi ringrazio per l'aiuto. alex

[Domè891]

bhe, io direi che gli unici problemi sono dati dai denominatori dei due rapporti, siccome il denominatore deve essere $!=0$ direi che il dominito è tutto $RR-{0}$...


ciao

[_prime_number]

Forse non ho capito bene la domanda... Cmq il dominio è $R-{0}$... Devi fare il limite per $x \to 0-$ e quello per $x \to 0+$.. il valore assoluto se ne va in entrambi i casi.. e poi dato che è una forma $0 * \infty$ prova a usare Taylor.

Paola

[alleposte]

concordo

[bad.alex]

"alleposte":concordo

vi ringrazio. ma le funzioni da considerare sono quindi....?sempre a causa del valore assoluto!!

[Nikilist]

In un intorno destro abbastanza piccolo $x>0$ e $x-1<0$, quindi hai $lim_{x\to 0^+} (1-x)/x*e^(1/x)$ e in qualunque intorno sinistro hai $x<0$ e $x-1<0$ quindi hai $lim_{x\to 0^-}(x-1)/x*e^(1/x)$.

[_prime_number]

Scusa, devi considerarle tutte... Allora, dentro al valore assoluto l'unica condizione da porre (dato che il val. ass. di suo non avrebbe condizioni ) è sul denominatore della frazione, che deve esser diverso da zero.
Poi l'esponenziale di suo non ha condizioni, ma ha come esponente una frazione che ne ha una, cioè sempre denominatore diverso da 0.

Così è più chiaro? Se hai dubbi posta..

Paola

[bad.alex]

"prime_number":Scusa, devi considerarle tutte... Allora, dentro al valore assoluto l'unica condizione da porre (dato che il val. ass. di suo non avrebbe condizioni ) è sul denominatore della frazione, che deve esser diverso da zero.
Poi l'esponenziale di suo non ha condizioni, ma ha come esponente una frazione che ne ha una, cioè sempre denominatore diverso da 0.

Così è più chiaro? Se hai dubbi posta..

Paola

non saprei...nel mentre stavo provando a svolgere qualche esercizio ma niente...ad esempio $|(x+4)/(x+1)|+x<10$....semplice disequazione fratta con valore assoluto....l'unica condizione che riesco a porre...prima di addentrarmi nei sistemi è x>=0 e x<0....non riesco proprio a capire il valore assoluto. ormai sono davvero "topici" i miei post sul valore assoluto

[bad.alex]

"bad.alex":[quote="prime_number"]Scusa, devi considerarle tutte... Allora, dentro al valore assoluto l'unica condizione da porre (dato che il val. ass. di suo non avrebbe condizioni ) è sul denominatore della frazione, che deve esser diverso da zero.
Poi l'esponenziale di suo non ha condizioni, ma ha come esponente una frazione che ne ha una, cioè sempre denominatore diverso da 0.

Così è più chiaro? Se hai dubbi posta..

Paola

non saprei...nel mentre stavo provando a svolgere qualche esercizio ma niente...ad esempio $|(x+4)/(x+1)|+x<10$....semplice disequazione fratta con valore assoluto....l'unica condizione che riesco a porre...prima di addentrarmi nei sistemi è x>=0 e x<0....non riesco proprio a capire il valore assoluto. ormai sono davvero "topici" i miei post sul valore assoluto [/quote]

vediamo un pò se lo svolgimento è corretto...: i due sistemi di equazioni sono$(x+4)+x^2+x<10x+10$ e $(x+4)+x^2+x>-10x-10$
se così risulta essere corretto..dovrei svolgere dunque le somme algebriche e risolvere le due disequazioni di secondo grado....ma un altro dilemma: come trovo gli intervalli?

[Camillo]

Il valore assoluto è un " marchingegno " che trasforma quello che è racchiuso tra le sue barrette in una quantità positiva ( o nulla ).
Esempio con un numero :$| 3 | = 3$ , il numero $3 $ è positivo e quindi l'applicazione di modulo o valore assoluto non cambia nulla .
Invece $| -3 | =3 $ perchè $ -3 $ è negativo e l'effetto del modulo è di farlo diventare positivo, come ? cambiando segno cioè $ |-3 | = -(-3 ) = 3$.
La definizione corretta di modulo è questa $| f(x)| = f(x) $ se $ f(x) >=0 $, altrimenti $f(x) = - f(x) $ se $ f(x) < 0 $.
Esempio : $ |x-1 | $ a cosa è uguale ? applichiamo la definizione : per quali valori di $x $ si ha che $x-1 >=0 $ ? chiaramente per $x >=1 $.
Per quali valori di $ x $ invece si ha che $x-1 <=0 $ ? ovviamnete per $ x <= 1 $.
Pertanto $ |x-1| $ assume due espressioni analitiche differenti a seconda di quali valori di $ x $ siano considerati:

se $ x>=1 $ il modulo vale $ x-1$.
se $x<=1 $ allora il modulo vale $ -(x-1) = 1-x $.

Ecco tutto : certo se la funzione racchiusa nel modulo è più complicata sarà più complicato risolvere la disequazione $ f(x) >= 0 $ ma concettualemnte nulla cambia.

Come ultima cosa ti consiglio di tracciare il diagramma del modulo , cioè di fare il grafico delle due funzioni

$ y = x-1 $ naturalmente solo per $ x>=1 $ e
$ y = 1-x $ naturalemnte solo per $ x<=1 $
hai così tracciato il grafico della funzione $ y = |x-1 | $ e vedrai che è sempre positiva ( nulla in $ x=1 $).
Ci sei ?

[_prime_number]

Allora, quando hai un valore assoluto devi spezzare il problema in 2 sottoproblemi (di cui poi dovrai unire le soluzioni)
1° sottoproblema
sistema tra
- argomento valore ass >=0
- tuo problema togliendo il val ass

2° sottoproblema
sistema tra
- argomento val ass <0
- tuo problema togliendo il val ass (e mettendo davanti un meno)

Nel caso che hai presentato tu:

problema: $|\frac{x+4}{x+1}| +x <10$

Sottoproblema 1:
a sistema le seguenti condizioni:
$(x+4)/(x+1) >=0$
$\frac{x+4}{x+1} +x<10$

Sottoproblema 2:
a sistema le seguenti condizioni:
$(x+4)/(x+1) <0$
$- \frac{x+4}{x+1} +x<10$

Soluz finale: unione tra soluz sottoprob1 e soluz sottoprob2

Paola

[bad.alex]

"Camillo":Il valore assoluto è un " marchingegno " che trasforma quello che è racchiuso tra le sue barrette in una quantità positiva ( o nulla ).
Esempio con un numero :$| 3 | = 3$ , il numero $3 $ è positivo e quindi l'applicazione di modulo o valore assoluto non cambia nulla .
Invece $| -3 | =3 $ perchè $ -3 $ è negativo e l'effetto del modulo è di farlo diventare positivo, come ? cambiando segno cioè $ |-3 | = -(-3 ) = 3$.
La definizione corretta di modulo è questa $| f(x)| = f(x) $ se $ f(x) >=0 $, altrimenti $f(x) = - f(x) $ se $ f(x) < 0 $.
Esempio : $ |x-1 | $ a cosa è uguale ? applichiamo la definizione : per quali valori di $x $ si ha che $x-1 >=0 $ ? chiaramente per $x >=1 $.
Per quali valori di $ x $ invece si ha che $x-1 <=0 $ ? ovviamnete per $ x <= 1 $.
Pertanto $ |x-1| $ assume due espressioni analitiche differenti a seconda di quali valori di $ x $ siano considerati:

se $ x>=1 $ il modulo vale $ x-1$.
se $x<=1 $ allora il modulo vale $ -(x-1) = 1-x $.

Ecco tutto : certo se la funzione racchiusa nel modulo è più complicata sarà più complicato risolvere la disequazione $ f(x) >= 0 $ ma concettualemnte nulla cambia.

Come ultima cosa ti consiglio di tracciare il diagramma del modulo , cioè di fare il grafico delle due funzioni

$ y = x-1 $ naturalmente solo per $ x>=1 $ e
$ y = 1-x $ naturalemnte solo per $ x<=1 $
hai così tracciato il grafico della funzione $ y = |x-1 | $ e vedrai che è sempre positiva ( nulla in $ x=1 $).
Ci sei ?

ci sono, ti ringrazio....però... ad esempio, se dovessi avere $|(x+1)/x|+2/|x-6|<-1$? in generale ,quando ho più moduli, come devo procedere?t ringrazio per la spiegazione....sei stato molto chiaro

[bad.alex]

"prime_number":Allora, quando hai un valore assoluto devi spezzare il problema in 2 sottoproblemi (di cui poi dovrai unire le soluzioni)
1° sottoproblema
sistema tra
- argomento valore ass >=0
- tuo problema togliendo il val ass

2° sottoproblema
sistema tra
- argomento val ass <0
- tuo problema togliendo il val ass (e mettendo davanti un meno)

Nel caso che hai presentato tu:

problema: $|\frac{x+4}{x+1}| +x <10$

Sottoproblema 1:
a sistema le seguenti condizioni:
$(x+4)/(x+1) >=0$
$\frac{x+4}{x+1} +x<10$

Sottoproblema 2:
a sistema le seguenti condizioni:
$(x+4)/(x+1) <0$
$- \frac{x+4}{x+1} +x<10$

Soluz finale: unione tra soluz sottoprob1 e soluz sottoprob2

Paola

...credo allora di aver svolto correttamente...sperando i calcoli siano stati eseguiti senza errori... vediamo adesso come procedere nel caso di più moduli all'interno di una stessa equazione/disequazioni...saranno due stanghette verticali o le parentesi graffe...ma ogni volta questa simbologia m atterrisce:(

[Camillo]

Qui puoi trovare maggiori informazioni

https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 708211027/

[bad.alex]

"Camillo":Qui puoi trovare maggiori informazioni

https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 708211027/

ti ringrazio camillo...ho già dato un'occhiata e sono riuscito a svolgere qualche esercizio. ma in caso di funzioni composte con valore assoluto..come dovrei operare?

[Camillo]

"bad.alex":[quote="Camillo"]Qui puoi trovare maggiori informazioni

https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 708211027/

ti ringrazio camillo...ho già dato un'occhiata e sono riuscito a svolgere qualche esercizio. ma in caso di funzioni composte con valore assoluto..come dovrei operare?[/quote]

Cioè cosa vuoi dire esattamente , fammi un esempio...

[bad.alex]

"Camillo":[quote="bad.alex"][quote="Camillo"]Qui puoi trovare maggiori informazioni

https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 708211027/

ti ringrazio camillo...ho già dato un'occhiata e sono riuscito a svolgere qualche esercizio. ma in caso di funzioni composte con valore assoluto..come dovrei operare?[/quote]

Cioè cosa vuoi dire esattamente , fammi un esempio...[/quote]
un esempio semplice: se dovessi avere $|(x+3)/(5-x^2)|+sqrt|(3x-2)|>3x$ come devo procedere?

[Camillo]

Devi considerare separatamente i vari moduli .
Va risolta la disequazione $ (x+3)/(5-x^2)>0 $ , la soluzione dovrebbe essere $ x< -3 $, $ -sqrt(5) Quindi in questi intervalli il modulo vale $ (x+3)/(5-x^2) $, mentre negli intervalli "complementari" il modulo
vale $ (x+3)/(-5+x^2) $.
Adesso esamini l'altro modulo $|3x-2 | $ e risolvi quindi la disequazione $ 3x-2 > 0 $ che ha soluzione $x > 2/3 $; pertanto per $x>2/3 $ il modulo vale appunto $3x-2$ , mentre per $x<2/3 $ il modulo vale $2-3x $.
adesso metti in ordine crescente i vari capisaldi , cioè i numeri trovati che sono :
$-3 , -sqrt(5), 2/3, sqrt(5) $ .
Si determinano così 5 intervalli in cui le varie espressioni analitiche sono differenti .
Ad es consideriamo cosa succede per $ x<-3 $
La disequazione iniziale diventa $ (x+3)/(5-x^2) +sqrt(2-3x) > 3x $ e la risolvi verificando poi che le soluzioni siano congruenti con l'intervallo considerato.
Poi passi all'intervallo successivo modificando opportunamente le varie espressioni , risolvi la nuova disequazione etc fino all'ultimo intervallo che è $ x> sqrt(5) $ in cui la disequazione diventa $(x+3)/(x^2-5) +sqrt(3x-2) > 3x $ , la risolvi etc e poi per ottenere la soluzione completa unisci i vari " pezzi " di soluzione .

[Camillo]

Ti segnalo un esercizietto più semplice e, secondo me più utile.
Risolvere la disequazione : $ |x+2|+ | x-1| > 5 $.

[bad.alex]

"Camillo":Devi considerare separatamente i vari moduli .
Va risolta la disequazione $ (x+3)/(5-x^2)>0 $ , la soluzione dovrebbe essere $ x< -3 $, $ -sqrt(5) Quindi in questi intervalli il modulo vale $ (x+3)/(5-x^2) $, mentre negli intervalli "complementari" il modulo
vale $ (x+3)/(-5+x^2) $.
Adesso esamini l'altro modulo $|3x-2 | $ e risolvi quindi la disequazione $ 3x-2 > 0 $ che ha soluzione $x > 2/3 $; pertanto per $x>2/3 $ il modulo vale appunto $3x-2$ , mentre per $x<2/3 $ il modulo vale $2-3x $.
adesso metti in ordine crescente i vari capisaldi , cioè i numeri trovati che sono :
$-3 , -sqrt(5), 2/3, sqrt(5) $ .
Si determinano così 5 intervalli in cui le varie espressioni analitiche sono differenti .
Ad es consideriamo cosa succede per $ x<-3 $
La disequazione iniziale diventa $ (x+3)/(5-x^2) +sqrt(2-3x) > 3x $ e la risolvi verificando poi che le soluzioni siano congruenti con l'intervallo considerato.
Poi passi all'intervallo successivo modificando opportunamente le varie espressioni , risolvi la nuova disequazione etc fino all'ultimo intervallo che è $ x> sqrt(5) $ in cui la disequazione diventa $(x+3)/(x^2-5) +sqrt(3x-2) > 3x $ , la risolvi etc e poi per ottenere la soluzione completa unisci i vari " pezzi " di soluzione .

ti ringrazio camillo per esserti "prestato" con maestosa disponibilità e gentilezza nella risoluzione di un mio problema. Posso dire con quasi certezza ( mi riservo ancora qualche dubbio in attesa di conferma una volta risolti parecchi esercizi) di aver capito il valore assoluto di una funzione. grazie ancora al vostro aiuto. Un abbraccio, alex

[bad.alex]

ehm....un'altra proprietà che mi è poco chiara...e poi presumo di aver capito davvero senza altri dilemmi:
se dovessi trovare |3-|x-2||...?