Ricerca di punti stazionari e matrice Hessiana
Buonasera, sto svolgendo questo esercizio e sono arrivato ad un punto oltre il quale non riesco andare per arrivare ad una conclusione. L'esercizio è questo:
Studiando l'annullamento del gradiente trovo 2 punti: $P_1(0,0)$ e $P_2(-\frac{sqrt(2)}{4},\pm\frac{root(4)(8)}{4})$.
La matrice Hessiana è la seguente: $((12x^2,2y),(2y,12y^2+2x))$.
Mi concentro sul punto $P_1$: questo determina una Hessiana nulla. La conseguenza immediata è dire che il criterio della matrice Hessiana non porta con sè alcuna informazione circa la natura del punto in considerazione.
Per sviare mi è stato insegnato a valutare la funzione ristretta ad una curva "comoda": restringendo f(x,y) alla retta y=x ottengo $f(x,x)=2x^4+x^3$, di derivata $f'=8x^3+3x^2$. La derivata si annulla in $x=-3/8$ e $x=0$, ma a questo punto non capisco come procedere.
Quali implicazioni hanno i miei calcoli (ammettendo che abbia fatto tutto correttamente)?
Studiando l'annullamento del gradiente trovo 2 punti: $P_1(0,0)$ e $P_2(-\frac{sqrt(2)}{4},\pm\frac{root(4)(8)}{4})$.
La matrice Hessiana è la seguente: $((12x^2,2y),(2y,12y^2+2x))$.
Mi concentro sul punto $P_1$: questo determina una Hessiana nulla. La conseguenza immediata è dire che il criterio della matrice Hessiana non porta con sè alcuna informazione circa la natura del punto in considerazione.
Per sviare mi è stato insegnato a valutare la funzione ristretta ad una curva "comoda": restringendo f(x,y) alla retta y=x ottengo $f(x,x)=2x^4+x^3$, di derivata $f'=8x^3+3x^2$. La derivata si annulla in $x=-3/8$ e $x=0$, ma a questo punto non capisco come procedere.
Quali implicazioni hanno i miei calcoli (ammettendo che abbia fatto tutto correttamente)?
Risposte
"Fabbiooo":
restringendo f(x,y) alla retta y=x ottengo $f(x,y)=2x^4+x^3$, di derivata $f'=8x^3+3x^2$. La derivata si annulla in $x=-3/8$ e $x=0$, ma a questo punto non capisco come procedere.
Non ho controllato i conti e voglio solo enfatizzare la logica di ciò che stai facendo.
In pratica hai sezionato f(x,y) con un piano che passa per l'origine (perchè a te interessa sapere cosa accade nel punto (0,0) ) e la sezione che hai ottenuto è ovviamente una curva. Quindi applica gli strumenti di analisi 1.
Che l'origine sia un punto critico anche per $f(x,x)=2x^4+x^3$ non dovrebbe meravigliarti e non è quello che devi verificare.
Ciò che vuoi sapere è che tipo di concavità ha la $f(x,x)$ nel punto $x=0$...quindi ?
"Bokonon":
...quindi ?
Quindi devo calcolare la derivata seconda di $f(x,x)$ e valutarla nel punto (x,x)=(0,0):
$f''(x,x)=24x^2+6x\Rightarrowf''(0,0)=0$.
Poichè il punto (0,0) è un punto stazionario ($\nablaf(0,0)=0$), ma non estremante per f(x,y) (concavità nulla in (0,0)) posso affermare che questo punto è un punto di sella per f(x,y), giusto?
Certo.
In 0 la f(x,x) ha un punto di flesso, quindi avviene un cambio di concavità..e per continuità avverrà in tutto l'intorno di (0,0), comunque tu vada a tagliare la f(x,y). Quindi (0,0) è un punto di sella.
Sostanzialmente vai a "sondare" cosa accade in un intorno di un punto. Non è mica un metodo meccanico. Se il punto di interesse è (a,b) con $a!=b$ mica userai y=x ma un piano che passi per (a,b) come $y=b/ax$
In 0 la f(x,x) ha un punto di flesso, quindi avviene un cambio di concavità..e per continuità avverrà in tutto l'intorno di (0,0), comunque tu vada a tagliare la f(x,y). Quindi (0,0) è un punto di sella.
Sostanzialmente vai a "sondare" cosa accade in un intorno di un punto. Non è mica un metodo meccanico. Se il punto di interesse è (a,b) con $a!=b$ mica userai y=x ma un piano che passi per (a,b) come $y=b/ax$
Completare un esercizio con questo tipo di lettura mi mancava! Ti ringrazio Bokonon! 
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