Ricerca di punti stazionari di una funzione a due variabili
Buongiorno a tutti! Vorrei chiedervi alcune conferme sul seguente esercizio sulla ricerca di massimi e minimi della seguente funzione:
$$f(x,y)=\frac{4x^3 y}{x^4+y^2}$$
Il dominio della funzione è: $D_f=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x,y) \ne 0\}$. Calcolo il gradiente e cerco i punti stazionari nei punti del dominio in cui le derivate sono continue
$$
\nabla f(x,y)=\begin{cases}
\frac{12x^2 y(x^4+y^2)-4x^3 y(4x^3)}{(x^4+y^2)^2}=0\\
\frac{4x^3(x^4+y^2)-4x^3 y(2y)}{(x^4+y^2)^2}=0
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
4yx^2(3y^2-x^4)=0\\
4x^3(x^4-y^2)=0
\end{cases}
$$
quindi i punti stazionari sono tutti i punti sull'asse delle y escluso il punto nell'origine in cui non è definita la funzione. Confermate che è corretto?
Perché se cerco i punti stazionari con WolframAlpha, mi da solo un punto di sella in (0,-1)?
$$f(x,y)=\frac{4x^3 y}{x^4+y^2}$$
Il dominio della funzione è: $D_f=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x,y) \ne 0\}$. Calcolo il gradiente e cerco i punti stazionari nei punti del dominio in cui le derivate sono continue
$$
\nabla f(x,y)=\begin{cases}
\frac{12x^2 y(x^4+y^2)-4x^3 y(4x^3)}{(x^4+y^2)^2}=0\\
\frac{4x^3(x^4+y^2)-4x^3 y(2y)}{(x^4+y^2)^2}=0
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
4yx^2(3y^2-x^4)=0\\
4x^3(x^4-y^2)=0
\end{cases}
$$
quindi i punti stazionari sono tutti i punti sull'asse delle y escluso il punto nell'origine in cui non è definita la funzione. Confermate che è corretto?
Perché se cerco i punti stazionari con WolframAlpha, mi da solo un punto di sella in (0,-1)?
Risposte
Chiedi a Worlfram Alpha di disegnare un grafico della tua funzione. Quella è una buona maniera di verificare i propri conti.
Oltre ad assicurarmi che effettivamente posso definire punti stazionari tutti i punti dell'asse y (escluso lo l'origine in quanto in quel punto la funzione non è definita), volevo capire se sbagliavo qualcosa nella sintassi in Wolfram
Ciò che ottengo con il comando: "Stationary points" è il seguente:
mentre se inserisco il comando "Critical points" ottengo
PS. Come posso ridurre le dimensioni quando inserisco un'immagine nel post?
Ciò che ottengo con il comando: "Stationary points" è il seguente:
mentre se inserisco il comando "Critical points" ottengo
PS. Come posso ridurre le dimensioni quando inserisco un'immagine nel post?
Bene. Io non mi fiderei di questi comandi troppo high-level; va bene usare i software, ma meglio fare tutti i passaggi (calcola le derivate, imposta un sistema di due equazioni, trovane le soluzioni).
Comunque, secondo i miei conti hai trovato i punti critici corretti. Quanto alle dimensioni delle immagini, non saprei, ma ci sono delle istruzioni nella sezione "Questioni tecniche del forum", potresti provare a dare uno sguardo lì.
Comunque, secondo i miei conti hai trovato i punti critici corretti. Quanto alle dimensioni delle immagini, non saprei, ma ci sono delle istruzioni nella sezione "Questioni tecniche del forum", potresti provare a dare uno sguardo lì.
Punto critico e punto di sella non sono sinonimi comunque.
Correggetemi se sbaglio: i punti critici, per funzioni a più variabili, sono i punti in cui la funzione ha derivate prime nulle ma in tali punti la funzione non è differenziabile, mentre se in tali punti la funzione fosse differenziabile, avremmo punti stazionari
Però non mi torna comunque con l'esercizio e con la verifica di Wolfram perché, se non sbaglio: condizione sufficiente per la differenziabilità è che le derivate prime siano continue sul dominio di f(x,y), cioè f sia di classe $C^1(X)$ con X dominio di f(x,y)
Dove sbaglio?
Però non mi torna comunque con l'esercizio e con la verifica di Wolfram perché, se non sbaglio: condizione sufficiente per la differenziabilità è che le derivate prime siano continue sul dominio di f(x,y), cioè f sia di classe $C^1(X)$ con X dominio di f(x,y)
Dove sbaglio?
"Punto critico" e "punto stazionario" sono sinonimi. Usa Wolfram Alpha solo per calcolare, non permettergli di sostituire la tua testa.
Ok 
seguirò il tuo consiglio! Se posso chiederti vorrei risolvere l'ultimo dubbio: un punto critico (o punto stazionario!) può anche essere ne minimo, ne massimo e ne punto sella esatto? Sono i casi in cui il determinante della matrice hessiana è nulla, e per i quali nemmeno le tecniche sostitutive (studio dell'incremento,...ecc. ) riescono a portare a una conclusione?
seguirò il tuo consiglio! Se posso chiederti vorrei risolvere l'ultimo dubbio: un punto critico (o punto stazionario!) può anche essere ne minimo, ne massimo e ne punto sella esatto? Sono i casi in cui il determinante della matrice hessiana è nulla, e per i quali nemmeno le tecniche sostitutive (studio dell'incremento,...ecc. ) riescono a portare a una conclusione?
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