Ricerca di massimo assoluto e minimo assoluto in un dato intervallo
Devo verificare se la funzione [tex]\displaystyle f(x)= \frac{x^3-7x+2}{x-3}[/tex]
assume un massimo assoluto e un minimo assoluto in un intervallo [0,1]
che procedimento devo utilizzare?
assume un massimo assoluto e un minimo assoluto in un intervallo [0,1]
che procedimento devo utilizzare?
Risposte
Calcola $f(0)$ e $f(1)$
Quale teorema ti viene in mente?
Quale teorema ti viene in mente?
Allora
f(0)= -2/3
f(1)= 2
f(0)= -2/3
f(1)= 2
Ok ma era solo per enfatizzare che potenzialmente quei valori potrebbero essere un massimo è un minimo... perché l'intervallo è chiuso.
La funzione è continua nell'intervallo chiuso?
Davvero queste condizioni non ti ricordano un teorema famosissimo?
La funzione è continua nell'intervallo chiuso?
Davvero queste condizioni non ti ricordano un teorema famosissimo?
In 0 - 1 è continua, mentre non è continua in tutto R. Weiserstrass giusto?
Ciao vasconvolto,
No, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, scrivilo bene: vabbeh che è deceduto da un po' e non si incazza più, però...
"vasconvolto":
Weiserstrass giusto?
No, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, scrivilo bene: vabbeh che è deceduto da un po' e non si incazza più, però...
Dato che l'intervallo è limitato e la funzione è continua in esso, allora per il teorema di Weierstrass possiamo affermare che esistono almeno un massimo è un minimo
E se ti avessero dato l'intervallo $[0,14]$? .
E se ti avessero dato l'intervallo $[0,14]$? .
In quel intervallo non dovrebbe essere continua poichè abbiamo il problema di x diverso da 3.
Ami il condizionale 
"Bokonon":Più che altro cerco conferme e confronto con voi. Spero di aver detto bene. La prima cosa è che la Funzione al di là dell'intervallo non è continua in R poichè ha un punto di discontinuità in 3. Nello specifico nell'intervallo 0,1 chiuso è continua mentre nell'altro intervallo non è continuo. Spero di aver scritto bene.
Ami il condizionale
Non proprio: $f$ non è definita in $x=3$, è diverso dall'avere un punto di discontinuità in $x=3$. Non si può proprio parlare di continuità in un punto in cui una funzione non è definita. Ad esempio, la funzione $g:[0,14] \to \mathbb{R}$ definita da
$$g(x)=\begin{cases} \frac{x^3-7x+2}{x-3}, \ \text{se} \ x \in [0,3) \cup (3,14] \\ 3785738, \ \text{se} \ x=3 \end{cases}$$
Che coincide con la tua $f$ se ristretta all'intervallo $[0,1]$, è discontinua in $x=3$.
$$g(x)=\begin{cases} \frac{x^3-7x+2}{x-3}, \ \text{se} \ x \in [0,3) \cup (3,14] \\ 3785738, \ \text{se} \ x=3 \end{cases}$$
Che coincide con la tua $f$ se ristretta all'intervallo $[0,1]$, è discontinua in $x=3$.
"Mephlip":
Non proprio: $f$ non è definita in $x=3$, è diverso dall'avere un punto di discontinuità in $x=3$. Non si può proprio parlare di continuità in un punto in cui una funzione non è definita. Ad esempio, la funzione $g:[0,14] \to \mathbb{R}$ definita da
$$g(x)=\begin{cases} \frac{x^3-7x+2}{x-3}, \ \text{se} \ x \in [0,3) \cup (3,14] \\ 3785738, \ \text{se} \ x=3 \end{cases}$$
Che coincide con la tua $f$ se ristretta all'intervallo $[0,1]$, è discontinua in $x=3$.
Quindi volendo la Funzione in oggetto è continua solo nell'intervallo chiuso [0,1] e non in tutto R. Giusto?
Hai introdotto (o ti è stata introdotta da qualcuno/qualcosa) una funzione solamente dando la legge $f$ che lega un valore $x$ del dominio al corrispondente valore $f(x)$ del codominio, ma non hai detto (o non ti è stato detto) chi sono dominio e codominio. Una funzione è definita dando due insiemi, dominio e codominio, e la legge $f$ che stabilisce la corrispondenza tra i due insiemi. Questo è molto importante, perché due funzioni aventi stessa legge $f$ ma almeno uno dei due tra dominio o codominio diversi sono funzioni diverse.
Tendenzialmente, quando non viene detto nulla si sottintende che il dominio di $f$ è il suo insieme di definizione (anche detto dominio naturale da alcuni autori), ossia l'insieme dei valori per cui $f$ ha senso. In questo caso, il dominio naturale di $f$ è $\text{dom}(f)=(-\infty,3)\cup(3,\infty)$; analogamente, se non viene specificato si assume che il codominio sia $\mathbb{R}$ (ma sono entrambe convenzioni, potrebbero variare da situazione a situazione; insomma, non prenderle come regole assolute). Perciò, in questo caso, sarebbe stato più preciso esporre il problema come: "Sia $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=\frac{x^3-7x+2}{x-3}$. Verificare che $f$ assume un massimo assoluto e un minimo assoluto.".
Quindi no, $f$ non è continua "solo in $[0,1]$" ma è continua in tutto il suo dominio naturale $(-\infty,3)\cup(3,\infty)$ in quanto rapporto di funzioni continue in $\mathbb{R}$ e, essendo presente un denominatore, devi escludere i valori che lo annullano; perciò, essendo $[0,1] \subset (-\infty,3)\cup(3,\infty)$, la funzione $f$ è in particolare continua in $[0,1]$. Tuttavia non è continua in tutto $\mathbb{R}$, ma perché addirittura non è definita in tutto $\mathbb{R}$ (e non c'è modo di definirla in tutto $\mathbb{R}$, perché per $x=3$ si annulla il denominatore).
Chiaramente, se con la dicitura "verificare che $f$ ammette massimo assoluto e minimo assoluto in $[0,1]$" si sottintende che $[0,1]$ è il dominio di $f$, allora $f$ è continua in tutto il suo dominio (ma attenzione, solamente perché si è definita $f$ in $[0,1]$; se la si definisce nel suo dominio naturale non è continua "solo in $[0,1]$", ma in tutto il suo dominio naturale, perché un noto teorema ti garantisce che il rapporto $h/k$ di funzioni continue è una funzione continua negli insiemi in cui le funzioni $h$ e $k$ sono continue intersecato all'insieme in cui è $k \ne 0$). Spero di averti chiarito un po' le idee.
Tendenzialmente, quando non viene detto nulla si sottintende che il dominio di $f$ è il suo insieme di definizione (anche detto dominio naturale da alcuni autori), ossia l'insieme dei valori per cui $f$ ha senso. In questo caso, il dominio naturale di $f$ è $\text{dom}(f)=(-\infty,3)\cup(3,\infty)$; analogamente, se non viene specificato si assume che il codominio sia $\mathbb{R}$ (ma sono entrambe convenzioni, potrebbero variare da situazione a situazione; insomma, non prenderle come regole assolute). Perciò, in questo caso, sarebbe stato più preciso esporre il problema come: "Sia $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=\frac{x^3-7x+2}{x-3}$. Verificare che $f$ assume un massimo assoluto e un minimo assoluto.".
Quindi no, $f$ non è continua "solo in $[0,1]$" ma è continua in tutto il suo dominio naturale $(-\infty,3)\cup(3,\infty)$ in quanto rapporto di funzioni continue in $\mathbb{R}$ e, essendo presente un denominatore, devi escludere i valori che lo annullano; perciò, essendo $[0,1] \subset (-\infty,3)\cup(3,\infty)$, la funzione $f$ è in particolare continua in $[0,1]$. Tuttavia non è continua in tutto $\mathbb{R}$, ma perché addirittura non è definita in tutto $\mathbb{R}$ (e non c'è modo di definirla in tutto $\mathbb{R}$, perché per $x=3$ si annulla il denominatore).
Chiaramente, se con la dicitura "verificare che $f$ ammette massimo assoluto e minimo assoluto in $[0,1]$" si sottintende che $[0,1]$ è il dominio di $f$, allora $f$ è continua in tutto il suo dominio (ma attenzione, solamente perché si è definita $f$ in $[0,1]$; se la si definisce nel suo dominio naturale non è continua "solo in $[0,1]$", ma in tutto il suo dominio naturale, perché un noto teorema ti garantisce che il rapporto $h/k$ di funzioni continue è una funzione continua negli insiemi in cui le funzioni $h$ e $k$ sono continue intersecato all'insieme in cui è $k \ne 0$). Spero di averti chiarito un po' le idee.
"Mephlip":
Hai introdotto (o ti è stata introdotta da qualcuno/qualcosa) una funzione solamente dando la legge $f$ che lega un valore $x$ del dominio al corrispondente valore $f(x)$ del codominio, ma non hai detto (o non ti è stato detto) chi sono dominio e codominio. Una funzione è definita dando due insiemi, dominio e codominio, e la legge $f$ che stabilisce la corrispondenza tra i due insiemi. Questo è molto importante, perché due funzioni aventi stessa legge $f$ ma almeno uno dei due tra dominio o codominio diversi sono funzioni diverse.
Tendenzialmente, quando non viene detto nulla si sottintende che il dominio di $f$ è il suo insieme di definizione (anche detto dominio naturale da alcuni autori), ossia l'insieme dei valori per cui $f$ ha senso. In questo caso, il dominio naturale di $f$ è $\text{dom}(f)=(-\infty,3)\cup(3,\infty)$; analogamente, se non viene specificato si assume che il codominio sia $\mathbb{R}$ (ma sono entrambe convenzioni, potrebbero variare da situazione a situazione; insomma, non prenderle come regole assolute). Perciò, in questo caso, sarebbe stato più preciso esporre il problema come: "Sia $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=\frac{x^3-7x+2}{x-3}$. Verificare che $f$ assume un massimo assoluto e un minimo assoluto.".
Quindi no, $f$ non è continua "solo in $[0,1]$" ma è continua in tutto il suo dominio naturale $(-\infty,3)\cup(3,\infty)$ in quanto rapporto di funzioni continue in $\mathbb{R}$ e, essendo presente un denominatore, devi escludere i valori che lo annullano; perciò, essendo $[0,1] \subset (-\infty,3)\cup(3,\infty)$, la funzione $f$ è in particolare continua in $[0,1]$. Tuttavia non è continua in tutto $\mathbb{R}$, ma perché addirittura non è definita in tutto $\mathbb{R}$ (e non c'è modo di definirla in tutto $\mathbb{R}$, perché per $x=3$ si annulla il denominatore).
Chiaramente, se con la dicitura "verificare che $f$ ammette massimo assoluto e minimo assoluto in $[0,1]$" si sottintende che $[0,1]$ è il dominio di $f$, allora $f$ è continua in tutto il suo dominio (ma attenzione, solamente perché si è definita $f$ in $[0,1]$; se la si definisce nel suo dominio naturale non è continua "solo in $[0,1]$", ma in tutto il suo dominio naturale, perché un noto teorema ti garantisce che il rapporto $h/k$ di funzioni continue è una funzione continua negli insiemi in cui le funzioni $h$ e $k$ sono continue intersecato all'insieme in cui è $k \ne 0$). Spero di averti chiarito un po' le idee.
Grazie della spiegazione superesaustiva il mio dubbio era ma se mi se la Funzione fosse continua in tutto R? E mi hai tolto quest'ultimo dubbio grazie.
@vasconvolto
Non citare l intero messaggio precedente (non serve e appesantisce il filone) clicca sul tasto rispondi e basta
Diverso se vuoi commentare un singolo passaggio, cita e cancella tra i due [quote] quello che non interessa.
Ora usa il tasto modifica sui tuoi messaggi dove citi il messaggio precedente e cancella l intera citazione
Non citare l intero messaggio precedente (non serve e appesantisce il filone) clicca sul tasto rispondi e basta
Diverso se vuoi commentare un singolo passaggio, cita e cancella tra i due [quote] quello che non interessa.
Ora usa il tasto modifica sui tuoi messaggi dove citi il messaggio precedente e cancella l intera citazione
"vasconvolto":
Più che altro cerco conferme e confronto con voi.
Ma certo, è che mi ricordi un liceale alle prese con un'interrogazione
L'ottimo Mephlip ti ha già chiarito le idee.
La risposta corretta è che un tale intervallo non è accettabile, poichè il dominio della funzione ci dice che non è definita in $x=3$ pertanto, l'intervallo:
[0,14] non è accettabile perchè include un punto in cui la funzione non è definita
Altro esempio, [1,3( è accettabile ma non è ne chiuso ne tantomeno limitato.
Stavolta, insomma, il problema era l'intervallo in se.
La continuità, per esempio, invece gioca un ruolo nel classico $f(x)=|x|$ e qualsiasi intervallo chiuso e limitato che contenga lo zero. Infatti la funzione è definita ovunque in tali intervalli ma discontinua in $x=0$
Fondamentalmente, sono pochi (ma importanti) i teoremi che ti fanno studiare e dimostrare: però devi leggere con attenzione e capire le ragioni delle ipotesi...ponendoti domande.
Così quando li trasli in esercizi sai già cosa guardare e farai a meno del condizionale
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo