Ricerca di massimi/minimi con hessiano nullo

[morbibi]

Salve a tutti!

Ho la funzione$f(x,y) = x^4+8xy+y^4-4x^2-4y^2$ di cui devo studiare i punti critici e classificarli.
Ho trovato che i punti $(0,0)$,$(2,-2)$,$(-2,2)$ sono punti critici.
Tramite lo studio del determinante dell'hessiano posso poi determinare che $(2,-2)$,$(-2,2)$ sono punti di minimo. Il problema sta in $(0,0)$ in cui l'hessiano è nullo.

A lezione, allora, abbiamo provato a studiare il segno della funzione e a vedere se c'è un intorno, in questo caso dell'origine, in cui essa è ovunque positiva o negativa (altrimenti si tratta di una sella).
In questo caso posso riscrivere la funzione come $f(x,y) = x^4+y^4-4(x-y)^2$, ma qua mi blocco e non riesco a studiare il segno.

Altrimenti abbiamo anche detto che possiamo provare a valutare la funzione nelle rette $y=mx$. Otterrei quindi: $f(x, mx) = x^4 + m^4x^4-4(x-mx)^2 = x^2[(1+m^4)x^2-4m^2+8m-4]$. Ma non mi è chiaro come devo procedere: bisogna porre $f(x,mx)>0$ e interpretare (in quale modo?) i risultati?

Grazie in anticipo!

[Quinzio]

"Morbibi":
A lezione, allora, abbiamo provato a studiare il segno della funzione e a vedere se c'è un intorno, in questo caso dell'origine, in cui essa è ovunque positiva o negativa (altrimenti si tratta di una sella).
In questo caso posso riscrivere la funzione come $f(x,y) = x^4+y^4-4(x-y)^2$, ma qua mi blocco e non riesco a studiare il segno.

Uno potrebbe però fare qualche considerazione.
Ho un punto P e devo cercare se c'è un intorno di P dove tutti i punti sono maggiori o minori di P (parlo del valore della funzione, ovvio).
Però un intorno di un punto in $RR^2$ è fatto da infiniti punti, per cui devo per forza inventarmi un metodo esaustivo, una parametrizzazione che mi porti a studiare il problema in $RR$ solamente, o qualche altro stratagemma.
Viceversa se cerco per primo di vedere se c'è una sella, devo solo trovare due punti, in cui la funzione è maggiore e minore, rispettivamente, nei due punti. E solo in due punti. Ne bastano due per fare una sella (o comunque per eliminare la possibilità di un max/min).
Se ad esempio prendo due punti facili facili, come (1,1) e (-1,1), ho già risolto i miei problemi.
Chiaramente non ho dimostrato in modo rigoroso che in (0,0) non c'è un max/min, però di sicuro ho capito che aria tira e non perdo tempo a cercare di dimostrare l'esistenza di estremi che non ci sono.
Sempre chiaramente per capire quali punti prendere bisogna ragionare un po' guardando la funzione.

[morbibi]

E infatti avevo supposto che fosse una sella, facendo considerazioni simili alla tua. Tuttavia non è una risposta rigorosa, come tu stesso hai detto, perchè dovrei vedere gli infiniti punti di un intorno via, via sempre più piccolo.
Mi verrebbe quindi l'idea di cercare una retta in cui la funzione, in un intorno del mio punto $(0,0)$, è positiva e un'altra in cui è negativa.
Ma come procedo nella loro ricerca?