Ricerca dell'equazione del piano tg il grafico di f
Ricerca dell'equazione del piano tg il grafico di $f(x,y)=x^2+y^2-1/2 (x^2+y^2)^2$ nel punto $((0,1),f(0,1))$ che di regola dovrebbe essere il punto $(0,1,1/2)$ siccome la funzione è differenziabile per il teorema del differenziale totale quindi il suo grafico sarà dotato di piani tg per ogni suo punto le derivate parziali della f dovrebbero essere $f_x=-2x(x^2+y^2-1)$ e $f_y=-2y(x^2+y^2-1)$ l'equazione per trovare il piano dovrebbe essere $z-f(0,1)=f_x(x-0)+f_y(y-1)$
Quindi $z-1/2=0(x-0)+0(y-1)$
Quindi $z=1/2$ è possibile? Nn è che ho sbagliato qualcosa?
Quindi $z-1/2=0(x-0)+0(y-1)$
Quindi $z=1/2$ è possibile? Nn è che ho sbagliato qualcosa?
Risposte
$f(0,1)=-1/2$, per il resto è corretto. Del resto mi pare che il punto $(0,1)$ sia un minimo della funzione.
"ciampax":
$f(0,1)=-1/2$, per il resto è corretto. Del resto mi pare che il punto $(0,1)$ sia un minimo della funzione.
E quindi l'equazione del piano tg il grafico di $f(x,u)$ nel punto $((0,1),f(0,1))$ quale sarebbe?
$z=-1/2$.... ripeto: e dai!!!!!
"ciampax":
$z=-1/2$.... ripeto: e dai!!!!!
Ho riprovato i calcoli a me esce $z=1/2$...comunque grazie e scusa se ti rompo con la mia insistenza
Comunque ora devo trovare la curva di livello che passa per $(0,1)$ che di regola dovrebbe essere $x^2+y^2-1/2(x^2+y^2)^2=1/2$
Mentre per trovare il versore tg nel punto $(0,1)$
Preso il vettore $T=(f_y,-f_x,0)$ trovo il versore $t=T/||T||$
Nn ho mai fatto una cosa del genere da quello ha ho capito io allora $t=((1/(sqrt((-2y(x^2+y^2-1))^2+((2x(x^2+y^2-1))^2)))(-2y(x^2+y^2-1),2x(x^2+y^2-1))$ quindi da quello che ho capito dovrei calcolare prima $(-2y(x^2+y^2-1))/(sqrt((-2y(x^2+y^2-1))^2+((2x(x^2+y^2-1))^2))$ e poi l'altro ma poi come faccio a prendere il versore che passi proprio dal punto $(0,1)$???
Spero nn ti arrabbi ciampax
"scarsetto":
[quote="ciampax"]$z=-1/2$.... ripeto: e dai!!!!!
Ho riprovato i calcoli a me esce $z=1/2$...[/quote]
Santa pazienza, no. Fai vedere questi calcoli.
"gio73":
[quote="scarsetto"][quote="ciampax"]$z=-1/2$.... ripeto: e dai!!!!!
Ho riprovato i calcoli a me esce $z=1/2$...[/quote]
Santa pazienza, no. Fai vedere questi calcoli.[/quote]
$f(x,y)=x^2+y^2-1/2(x^2+y^2)^2$
$f(0,1)=0^2+1^2-1/2(0^2+1^2)^2=1-1/2(1)^2=1-1/2=1/2$
ok, hai ragione tu! Scusa
"gio73":
ok, hai ragione tu! Scusa
Ma scusa di che
comunque scusatemi se vi rompo con la mia insistenza
volevo capire per trovare il versore tg nel punto $(0,1)$
Preso il vettore $T=(f_y,-f_x,0)$ trovo il versore $t=T/||T||$
Nn ho mai fatto una cosa del genere da quello ha ho capito io allora $t=((1/(sqrt((-2y(x^2+y^2-1))^2+((2x(x^2+y^2-1))^2)))(-2y(x^2+y^2-1),2x(x^2+y^2-1))$ quindi da quello che ho capito dovrei calcolare prima $(-2y(x^2+y^2-1))/(sqrt((-2y(x^2+y^2-1))^2+((2x(x^2+y^2-1))^2))$ e poi l'altro ma poi come faccio a prendere il versore che passi proprio dal punto $(0,1)$???
Ciao scarsetto, tutti quei conti mi danno un leggero mal di mare.
A me piace immaginare l'aspetto del grafico delle funzioni in due variabili e così ci ho provato con la tua funzione.
Spero che le mie conclusioni siano corrette, mi raccomando controlla.
Venendo al dunque mi sembra di riconoscere $rho^2=x^2+y^2$, di conseguenza la nostra funzione la potrei scrivere come
$f(rho, theta)=rho^2-1/2rho^4=rho^2(1-1/2rho^2)$ mi accorgo che lungo le circonferenze di raggio $rho$ la mia funzione assume lo stesso valore indipendentemente dall'angolo. Mi sembra di poter affermare che le curve di livello sono delle circonferenze. Nell'origine la nostra funzione vale 0, poi allontanandosi dall'origine aumente fino ad un massimo, che vale $1/2$ a una distanza 1 dall'origine, poi scende fino a incontrare di nuovo il piano $xy$ a una distanza $sqrt2$ dall'origine; a distanze maggiori dall'origine le nostre circonferenze si trovano a quote negative.
A me piace immaginare l'aspetto del grafico delle funzioni in due variabili e così ci ho provato con la tua funzione.
Spero che le mie conclusioni siano corrette, mi raccomando controlla.
Venendo al dunque mi sembra di riconoscere $rho^2=x^2+y^2$, di conseguenza la nostra funzione la potrei scrivere come
$f(rho, theta)=rho^2-1/2rho^4=rho^2(1-1/2rho^2)$ mi accorgo che lungo le circonferenze di raggio $rho$ la mia funzione assume lo stesso valore indipendentemente dall'angolo. Mi sembra di poter affermare che le curve di livello sono delle circonferenze. Nell'origine la nostra funzione vale 0, poi allontanandosi dall'origine aumente fino ad un massimo, che vale $1/2$ a una distanza 1 dall'origine, poi scende fino a incontrare di nuovo il piano $xy$ a una distanza $sqrt2$ dall'origine; a distanze maggiori dall'origine le nostre circonferenze si trovano a quote negative.
gio73:
Ciao scarsetto, tutti quei conti mi danno un leggero mal di mare.
A me piace immaginare l'aspetto del grafico delle funzioni in due variabili e così ci ho provato con la tua funzione.
Spero che le mie conclusioni siano corrette, mi raccomando controlla.
Venendo al dunque mi sembra di riconoscere $rho^2=x^2+y^2$, di conseguenza la nostra funzione la potrei scrivere come
$f(rho, theta)=rho^2-1/2rho^4=rho^2(1-1/2rho^2)$ mi accorgo che lungo le circonferenze di raggio $rho$ la mia funzione assume lo stesso valore indipendentemente dall'angolo. Mi sembra di poter affermare che le curve di livello sono delle circonferenze. Nell'origine la nostra funzione vale 0, poi allontanandosi dall'origine aumente fino ad un massimo, che vale $1/2$ a una distanza 1 dall'origine, poi scende fino a incontrare di nuovo il piano $xy$ a una distanza $sqrt2$ dall'origine; a distanze maggiori dall'origine le nostre circonferenze si trovano a quote negative.
Ma come faccio a trovare il versore tg nel punto che mi interessa relativo alla curva di livello che passa per quel punto ? Aiutami a capire dove mi vuoi portare con il tuo ragionamento perdonami nn lo so forse sarà una cosa ovvia ma con tutta questa analisi di questi giorni sto fuso...sto preparando l'esame di analisi 2
[xdom="Seneca"]Già in tre occasioni ti ho chiesto di non disabilitare il BBCode. Forse la chiusura del thread sortirà qualche effetto sui messaggi futuri.[/xdom]
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