Ricerca dei punti di massimo e minimo su dominio chiuso: problema
In questo esercizio devo trovare i punti di massimo e minimo assoluto di questa funzione su questo dominio chiuso.
$ f(x, y):= x^2+y^2-(x+y) $ con $ abs(x)<=1 $ e $ abs(y)<=1 $.
Se faccio il disegno del dominio, mi trovo un quadrato con lato di lunghezza 2 e centrato in (0, 0).
1) Per prima cosa considero il dominio aperto:
A. Calcolo le derivate parziali prime e le ponge uguali a zero => A=(0.5, 0.5).
B. Il punto A è un punto di minimo locale.
2) Ora considero la frontiera del dominio, ossia i quattro segmenti.
A. Consideriamo il lato "sopra" del quadrato. Tale vincolo mantiene la y fissa (y=1) e la x varia tra -1<=x<=+1. Il vincolo ha espressione: $ g(x, y): y-1=0 $ con $ -1<=x<=+1 $. Le derivate parziali del vincolo sono $ dg/dx = 0 $ e $ dg/dy = 1 $.
B. A questo punto usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e risolvo il sistema appena ottenuto:
$ { ( (2x-1) - lambda*0 = 0 ),( (2y-1) - lambda*1 = 0 ),( y-1=0 ),( -1<=x<=1 ):} $
C. Risolvendo ottengo il punto B=(0.5, 1).
3) Faccio un ragionamento simile per gli altri lati del mio quadrato... .
4) Complessivamento ottengo i punti:
(A) = (0.5, 0.5)
(B) = (0.5, 1)
(C) = (-1, 0.5)
(D) = (1, 0.5)
(E) = (0.5, -1)
Tra questi punti vedo, utilizzando la funzione f(x, y), chi è il punto di minimo assoluto e chi il punto di massimo assoluto.
Però ragazzi, sbaglio qualcosa nel mio ragionamento... Guardate il punto (F) = (-1, -1) -> nella funzione f ottengo il valore massimo: (-1)^2 + (-1)^2 - (-1-1) = 1 + 1 - (-2) = 1+1+2 = 4 ed è il valore massimo della mia funzione.
Perché non riesco a trovarlo, matematicamente, questo punto (F)? Dove sbaglio? Grazie!
$ f(x, y):= x^2+y^2-(x+y) $ con $ abs(x)<=1 $ e $ abs(y)<=1 $.
Se faccio il disegno del dominio, mi trovo un quadrato con lato di lunghezza 2 e centrato in (0, 0).
1) Per prima cosa considero il dominio aperto:
A. Calcolo le derivate parziali prime e le ponge uguali a zero => A=(0.5, 0.5).
B. Il punto A è un punto di minimo locale.
2) Ora considero la frontiera del dominio, ossia i quattro segmenti.
A. Consideriamo il lato "sopra" del quadrato. Tale vincolo mantiene la y fissa (y=1) e la x varia tra -1<=x<=+1. Il vincolo ha espressione: $ g(x, y): y-1=0 $ con $ -1<=x<=+1 $. Le derivate parziali del vincolo sono $ dg/dx = 0 $ e $ dg/dy = 1 $.
B. A questo punto usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e risolvo il sistema appena ottenuto:
$ { ( (2x-1) - lambda*0 = 0 ),( (2y-1) - lambda*1 = 0 ),( y-1=0 ),( -1<=x<=1 ):} $
C. Risolvendo ottengo il punto B=(0.5, 1).
3) Faccio un ragionamento simile per gli altri lati del mio quadrato... .
4) Complessivamento ottengo i punti:
(A) = (0.5, 0.5)
(B) = (0.5, 1)
(C) = (-1, 0.5)
(D) = (1, 0.5)
(E) = (0.5, -1)
Tra questi punti vedo, utilizzando la funzione f(x, y), chi è il punto di minimo assoluto e chi il punto di massimo assoluto.
Però ragazzi, sbaglio qualcosa nel mio ragionamento... Guardate il punto (F) = (-1, -1) -> nella funzione f ottengo il valore massimo: (-1)^2 + (-1)^2 - (-1-1) = 1 + 1 - (-2) = 1+1+2 = 4 ed è il valore massimo della mia funzione.
Perché non riesco a trovarlo, matematicamente, questo punto (F)? Dove sbaglio? Grazie!
Risposte
Inanzitutto grazie per la tua risposta, molto completa e con tanto di grafico!
Ho riletto varie volte il tuo intervento ma ancora non mi è tutto chiaro (anche colpa mia che sono un po' tonto!).
Allora adesso ho capito (e ti ringrazio moltissimo) la parametrizzazione del bordo!
La cosa che non mi è chiara: nei calcoli tu hai aggiunto (giustamente) anche gli spigoli, ma non vedo un calcolo matematico per determinarli, io invece mi sarei aspettato di trovarli tramite calcoli. Perché?
Ho riletto varie volte il tuo intervento ma ancora non mi è tutto chiaro (anche colpa mia che sono un po' tonto!).
Allora adesso ho capito (e ti ringrazio moltissimo) la parametrizzazione del bordo!
La cosa che non mi è chiara: nei calcoli tu hai aggiunto (giustamente) anche gli spigoli, ma non vedo un calcolo matematico per determinarli, io invece mi sarei aspettato di trovarli tramite calcoli. Perché?
Ho capito!
Ti ringrazio moltissimo per l'aiuto e le spiegazioni! Grazie mille
Ti ringrazio moltissimo per l'aiuto e le spiegazioni! Grazie mille
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