Ricerca degli zeri

[lucia88]

Ciao,
data una funzione $f:I=[a,b]-->R$ devo trovare gli zeri della funzione a t.c. $f(a)=0$

Prima, appunto, di cercare gli zeri(con metodo di newton,bisezione,secanti,corde,regula falsi,ecc) devo imporre delle condizioni:
affinché lo zero esista(dal teorema degli zeri):
1) f continua in I
2)$f(a)f(b)<0$
affinchè ci sia un unico zero:
3)$f'' !=0$ (condizione ovviamente sufficiente ma non necessaria)

ci sono condizioni migliori di queste per la ricerca degli zeri?

Poi non capisco perchè per scegliere il punto d'innesco di un metodo iterativo si consideri:

se $f(a)f''(a)>0$: allora il punto d'innesco è $x_0=b$
se $f(b)f''(b)>0$ : allora il punto d'innesco è$x_0=a$

Grazie

[gio73]

Ciao Lucia,
ci sono alcune cose che non so, me le puoi spiegare per favore?

"Lucia":
data una funzione $f:I=[a,b]-->R$ devo trovare gli zeri della funzione a t.c. $f(a)=0$

cosa vuol dire t.c.? Tale che? $a$ di $f(a)$ è lo stesso dell'estremo dell'insieme $I=[a,b]$?

"Lucia":
Prima, appunto, di cercare gli zeri(con metodo di newton,bisezione,secanti,corde,regula falsi,ecc) devo imporre delle condizioni:
affinché lo zero esista(dal teorema degli zeri):
1) f continua in I
2)$f(a)f(b)<0$

Ok

"Lucia":
affinchè ci sia un unico zero:
3)$f'' !=0$ (condizione ovviamente sufficiente ma non necessaria)

Non capisco

"Lucia":
Poi non capisco perchè per scegliere il punto d'innesco di un metodo iterativo si consideri:

se $f(a)f''(a)>0$: allora il punto d'innesco è $x_0=b$
se $f(b)f''(b)>0$ : allora il punto d'innesco è$x_0=a$

Cosa è il punto di innesco?

[lucia88]

Cioè, ho un esercizio in cui si richiede di $(1)$ applicare un metodo per la ricerca degli zeri di una funzione(ad es:newton, corde,bisezione) dopo $(2)$aver verificato che gli zeri esistano effettivamente.

QUindi $(2)$ data $f: I=[a,b]-->R$ determinare $\alpha$ tale che $f(\alpha)=0$

Negli appunti che ho preso a lezione ho scritto che:
-Condizioni esistenza zeri(uno o più):
_f continua
_ agli estremi la funzione assume segni opposti
-Condizione sufficiente ma non necessaria per l'unicità della radice:
_$f'' !=0$

Quindi mi chiedevo se esistono altre condizioni per l'esistenza o unicità degli zeri di una funzione e se queste sono giuste

Per quanto riguarda l'applicazione di un metodo per la ricerca degli zeri $(1)$, ad esempio newton e il metodo delle corde
permettono di costruire una successione di valori convergenti alla soluzione\zero a partire da un dato iniziale $x_0$, un punto d'innesco l'ha definito la prof. : cioè una successione del tipo $x_(n+1)=g(x_n)$
quindi per determinare tra i due estremi dell'intervallo di partenza $x_0$ ci viene suggerito di usare quelle due disequazioni con funzione e derivata, e mi chiedevo il perchè