Ricerca degli integrali generali di una PDE non lineare
Sto cercando gli integrali generali per l'equazione differenziale del tipo:
$a((delz)/(delx))^2 + b((delz)/(dely))^2 = c$
che come soluzioni ho trovato le seguenti espressioni:
$z^2=c(x^2/a+y^2/b)+k$
oppure:
$+- x * sqrt((c-bk_2^2)/a)+k_2y+k_1$
esistono altre forme algebriche?
esiste un metodo per verificare che non ci siano ulteriori soluzioni?
Grazie
$a((delz)/(delx))^2 + b((delz)/(dely))^2 = c$
che come soluzioni ho trovato le seguenti espressioni:
$z^2=c(x^2/a+y^2/b)+k$
oppure:
$+- x * sqrt((c-bk_2^2)/a)+k_2y+k_1$
esistono altre forme algebriche?
esiste un metodo per verificare che non ci siano ulteriori soluzioni?
Grazie
Risposte
Dipende da quali soluzioni stai cercando: classiche, generalizzate, di viscosità...
Generalizzate.
Beh, di generalizzate ce ne sono fantastilioni (con soluzione generalizzata si intende una funzione Lipschitziana che soddisfi quasi ovunque l'equazione).
Questo lo vedi anche nel caso unidimensionale: se hai l'equazione $(u_x)^2 = 1$, vedi subito che qualsiasi funzione affine a tratti con derivata $\pm 1$ sui tratti affini è soluzione.
Tipicamente per queste PDE nonlineari il concetto "migliore" di soluzione è quello di viscosità; dipende anche un po' da qual è il problema che devi risolvere.
Questo lo vedi anche nel caso unidimensionale: se hai l'equazione $(u_x)^2 = 1$, vedi subito che qualsiasi funzione affine a tratti con derivata $\pm 1$ sui tratti affini è soluzione.
Tipicamente per queste PDE nonlineari il concetto "migliore" di soluzione è quello di viscosità; dipende anche un po' da qual è il problema che devi risolvere.
Scusami ma non conosco il concetto di 'viscosità' riferita alle PDE.
Mi puoi dare qualche indicazione?
Mi interessano queste soluzioni perchè si applicano allo studio della propagazione degli errori.
Grazie.
Mi puoi dare qualche indicazione?
Mi interessano queste soluzioni perchè si applicano allo studio della propagazione degli errori.
Grazie.
Un'introduzione alle soluzioni di viscosità la trovi qui:
http://www.math.psu.edu/bressan/PSPDF/hj.pdf
Devo dire che mi sembra strano che si debba risolvere un'equazione del genere per studiare la propagazione degli errori
http://www.math.psu.edu/bressan/PSPDF/hj.pdf
Devo dire che mi sembra strano che si debba risolvere un'equazione del genere per studiare la propagazione degli errori
Solo una piccola nota.
Se si riscalano le variabili, l'equazione si trasforma nella classica equazione eikonale (di cui abbiamo già parlato pochi giorni fa).
@Rigel: Grazie per aver segnalato quelle dispensine.
Se si riscalano le variabili, l'equazione si trasforma nella classica equazione eikonale (di cui abbiamo già parlato pochi giorni fa).
@Rigel: Grazie per aver segnalato quelle dispensine.
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