Ricerca asintoto obliquo e sviluppo in serie
Salve a tutti,
premetto che non ho ancora iniziato le lezioni universitarie ma ho voluto iniziare analisi 1 da solo.
Stavo studiando la funzione \(\displaystyle f(x)= \sqrt{\frac{x^3}{x+3}} \) e alla ricerca dell'asintoto obliquo avrei dovuto risolvere il limite: \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\sqrt{\frac{x^3}{x+3}} \).
A quanto ho capito, la soluzione (che riporto in allegato come immagine), considera che per \(\displaystyle x \to + \infty \), \(\displaystyle \sqrt{ \frac{x^3}{x+3}} = O(x) \) per cui sviluppa solo la funzione in serie... Giusto?
Quello che non mi torna è: perché le equazioni degli asintoti obliqui vengono trovate senza calcolare il limite.
Vi ringrazio in anticipo!
premetto che non ho ancora iniziato le lezioni universitarie ma ho voluto iniziare analisi 1 da solo.
Stavo studiando la funzione \(\displaystyle f(x)= \sqrt{\frac{x^3}{x+3}} \) e alla ricerca dell'asintoto obliquo avrei dovuto risolvere il limite: \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\sqrt{\frac{x^3}{x+3}} \).
A quanto ho capito, la soluzione (che riporto in allegato come immagine), considera che per \(\displaystyle x \to + \infty \), \(\displaystyle \sqrt{ \frac{x^3}{x+3}} = O(x) \) per cui sviluppa solo la funzione in serie... Giusto?
Quello che non mi torna è: perché le equazioni degli asintoti obliqui vengono trovate senza calcolare il limite.
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Ciao Buraka,
Benvenuto sul forum!
Come regola generale cerca di non allegare immagini che a lungo andare si perdono...
Beh no, non è così che si trovano gli asintoti obliqui: questo limite se risulta $\pm infty $ ti dice soltanto che la funzione può avere un asintoto obliquo ed è già stato risolto sul testo:
$\lim_{x \to \pm infty} f(x) = +\infty $
In realtà non lo fa esplicitamente, ma lo lascia intendere:
$m = \lim_{x \to \pm infty} f(x)/x = \pm 1 $
[tex]q = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] = \mp \,\frac{3}{2}[/tex]
Pertanto si trovano i due asintoti obliqui $y = mx + q $ specificati dal testo: $y = x - 3/2 $ e $y = - x +3/2 $
Benvenuto sul forum!
Come regola generale cerca di non allegare immagini che a lungo andare si perdono...
"Buraka":
[...] alla ricerca dell'asintoto obliquo avrei dovuto risolvere il limite: $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^3/(x+3)}$.
Beh no, non è così che si trovano gli asintoti obliqui: questo limite se risulta $\pm infty $ ti dice soltanto che la funzione può avere un asintoto obliquo ed è già stato risolto sul testo:
$\lim_{x \to \pm infty} f(x) = +\infty $
"Buraka":
Quello che non mi torna è: perché le equazioni degli asintoti obliqui vengono trovate senza calcolare il limite.
In realtà non lo fa esplicitamente, ma lo lascia intendere:
$m = \lim_{x \to \pm infty} f(x)/x = \pm 1 $
[tex]q = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] = \mp \,\frac{3}{2}[/tex]
Pertanto si trovano i due asintoti obliqui $y = mx + q $ specificati dal testo: $y = x - 3/2 $ e $y = - x +3/2 $
Ciao innanzitutto grazie e scusami per la foto.
In realtà lo so come si trovano gli asintoti obliqui ma ho sbagliato a scrivere la stringa in Tex per cui manca il \(\displaystyle - x\)...
Detto ciò vedrò altri esempi, grazie mille!
In realtà lo so come si trovano gli asintoti obliqui ma ho sbagliato a scrivere la stringa in Tex per cui manca il \(\displaystyle - x\)...
Detto ciò vedrò altri esempi, grazie mille!
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