Ricerca asintoto obliquo di una funzione
Ciao a tutti...sono uno studente di 5^ liceo scientifico...sabato abbiamo avuto uno scritto di mate! c'era da fare lo studio della funzione f(x)= e^{x} -x-1, e in un passaggio si dichiarava l'esistenza di un asintoto obliquo.
per trovarlo ho applicato la formula:
m= $ lim_(x -> oo ) f(x)/x $ e questo veniva una forma indeterminata, o un infinito (ora non ricordo bene), e quindi non sono riuscito a trovarlo!
per trovarlo ho applicato la formula:
m= $ lim_(x -> oo ) f(x)/x $ e questo veniva una forma indeterminata, o un infinito (ora non ricordo bene), e quindi non sono riuscito a trovarlo!
Risposte
Devi separare il caso $x->+oo$ e $x->-oo$.
Quanto valgono $lim_(x->+oo)f(x)/x=lim_(x->+oo)(e^x-x-1)/x$ e $lim_(x->-oo)f(x)/x=lim_(x->-oo)(e^x-x-1)/x$?
Quanto valgono $lim_(x->+oo)f(x)/x=lim_(x->+oo)(e^x-x-1)/x$ e $lim_(x->-oo)f(x)/x=lim_(x->-oo)(e^x-x-1)/x$?
ecco o fino lì ci sono arrivato...! xò calcolando il limite ottenvo una F.I. $ oo /oo $ ...poi?? mi sono fermato...magari mi sono perso in un bicchier d'acqua?? ma come andavo avanti?
Allora, cominciamo dal caso $x->+oo$. Abbiamo, come hai detto, una forma di indeterminazione del tipo $oo/(oo)$.
Se hai visto la scala degli infiniti, dovresti sapere come risolverla. Altrimenti puoi sempre ricorrere alla regola di de l'Hopital.
Nel caso in cui $x->-oo$, come si comporta il numeratore e in particolare l'esponenziale che vi compare ?
In tutti e due i casi quello che devi fare è capire chi "comanda" per poi capire come si comporta il rapporto.
Se hai visto la scala degli infiniti, dovresti sapere come risolverla. Altrimenti puoi sempre ricorrere alla regola di de l'Hopital.
Nel caso in cui $x->-oo$, come si comporta il numeratore e in particolare l'esponenziale che vi compare ?
In tutti e due i casi quello che devi fare è capire chi "comanda" per poi capire come si comporta il rapporto.
"DadoBongio":
ecco o fino lì ci sono arrivato...! xò calcolando il limite ottenvo una F.I. $ oo /oo $ ...poi?? mi sono fermato...magari mi sono perso in un bicchier d'acqua?? ma come andavo avanti?
Un conto è se ti esce come risultato finale $+-oo$, un conto, invece, è se ti esce una forma indeterminata del tipo $oo/oo$.
In questo secondo caso, infatti, non è detto che il limite non esista, devi solo liberarti dalla forma indeterminata.
Se ottieni un valore diverso da $0$ e $oo$, allora devi cercarti la $q$.
Se invece ottieni, come risultato del limite : $oo$ oppure $0$, allora non esiste l'asintoto obliquo.
ho provato a rifare l'esercizio per vedere bene come avevo fatto...! nel momento dell'eliminazione della forma indeterminata mi sono bloccato! come la elimino????
la prof aveva dato un suggerimento...di ragionare sulla gerarchia degli infiniti...ma non ho trovato nulla di simile!
la prof aveva dato un suggerimento...di ragionare sulla gerarchia degli infiniti...ma non ho trovato nulla di simile!
Devi ragionare sull'ordine dei due infiniti.
Giusto per rispolverare un pò di concetti:
Siano $f:A->R$ e $g:A->R$ due funzioni infinite in $x_0 in R$;
cioè il $lim_(x->x_0)|f(x)|=+oo$ e $lim_(x->x_0)|g(x)|=+oo$
Allora:
1° caso:
$f$ e $g$ sono infiniti dello stesso ordine $hArr$ $lim_(x->x_0)|(f(x))/(g(x))|=L$ dove $L in R^*$ *
2° caso:
$f$ è un infinito di ordine maggiore a $g$ $hArr$ $lim_(x->x_0)|(f(x))/(g(x))|=+oo$
3° caso:
$f$ è un infinito di ordine minore a $g$ $hArr$ $lim_(x->x_0)|(f(x))/(g(x))|=0$
Questo dovrebbe aiutarti a risolvere i limiti, sulla base degli ordini.
_________________________
* Più in generale se $f$ e $g$ sono infiniti dello stesso ordine allora:
$EE h>0 ^^ k>0 $ e $EE I$intorno di $x_0$ tale che $AA x in AnnI-{x_0}$ risulta che $h<|(f(x))/(g(x))|
NB. In tutto ciò, ho dato per scontata, la conoscenza degli ordini di un infinito o infinitesimo, poiché suppongo che sai cosa sono, dal momento che il vostro docente vi ha detto di ragionare con questi.
Giusto per rispolverare un pò di concetti:
Siano $f:A->R$ e $g:A->R$ due funzioni infinite in $x_0 in R$;
cioè il $lim_(x->x_0)|f(x)|=+oo$ e $lim_(x->x_0)|g(x)|=+oo$
Allora:
1° caso:
$f$ e $g$ sono infiniti dello stesso ordine $hArr$ $lim_(x->x_0)|(f(x))/(g(x))|=L$ dove $L in R^*$ *
2° caso:
$f$ è un infinito di ordine maggiore a $g$ $hArr$ $lim_(x->x_0)|(f(x))/(g(x))|=+oo$
3° caso:
$f$ è un infinito di ordine minore a $g$ $hArr$ $lim_(x->x_0)|(f(x))/(g(x))|=0$
Questo dovrebbe aiutarti a risolvere i limiti, sulla base degli ordini.
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* Più in generale se $f$ e $g$ sono infiniti dello stesso ordine allora:
$EE h>0 ^^ k>0 $ e $EE I$intorno di $x_0$ tale che $AA x in AnnI-{x_0}$ risulta che $h<|(f(x))/(g(x))|
NB. In tutto ciò, ho dato per scontata, la conoscenza degli ordini di un infinito o infinitesimo, poiché suppongo che sai cosa sono, dal momento che il vostro docente vi ha detto di ragionare con questi.
Aggiungo che non sempre si possono confrontare due infiniti [ infinitesimi ] . In tal caso i due infiniti [ infinitesimi ] si dicono inconfrontabili.
grazie x il chiarimento...ora ho capito! ma il fatto è che lei ha detto di ragionare sulla gerarchia degli infiniti...! ma di infinitesimi noi non abbiamo mai parlato!! nella risoluzione che ci ha dato oggi c'era un ragionamento come il tuo....però se lei le cose nn le fa!!! GRAZIE MILLE CMQ!! ora ho capito!!
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