Ricavare un limite notevole usando 'artificio' matematico

[Comeover]

Scusate se la domanda può sembrare banale ma dato il seguente limite
$lim_(x->0) (ln(1+x)-ln(1+sinx))/x^3$
è lecito il seguente passaggio per ricavarmi i limiti notevoli
$lim_(x->0) ((ln(1+x)/x)*x-(ln(1+sinx)/sinx)*sinx)/x^3$
cosi da far tendere quei limiti notevoli a 1 e ottenere
$lim_(x->0) (x-sinx)/x^3$

[Luca.Lussardi]

No non e' lecito. Io userei una proprieta' dei logaritmi all'inizio per scrivere la differenza come un unico logaritmo, poi a occhio mi sembra facile.

[Comeover]

"Luca.Lussardi":No non e' lecito. Io userei una proprieta' dei logaritmi all'inizio per scrivere la differenza come un unico logaritmo, poi a occhio mi sembra facile.

Per intenderci,scriverebbe una cosa del genere $lim_(x->0)((ln((1+x)/(1+sinx)))/x^3)$ e poi come procederebbe?

PS Nel post precedente avevo intezione di usare il limite $ln(1+f(x))/f(x)->1$ if $f(x)->0$

[Luca.Lussardi]

Infatti devi usare quel limite notevole, ma non puoi farlo come avevi fatto in precedenza a causa di quel $-$ al numeratore. Osserva ora che $(1+x)/(1+\sin x)\to 1$ per $x\to 0$, quindi e' della forma $1+f(x)$ per una $f$ infinitesima per $x\to 0$, questo ti toglie il logaritmo dai piedi, poi e' facile.

[Comeover]

Poichè $(1+x)/(1+sinx)->1$ per$x->0$
Quindi ora aggiungo e sottraggo 1 all'argomento
$lim_(x->0)((ln((1+x)/(1+sinx)+1-1))/x^3)$=$lim_(x->0)((ln((x-sinx)/(1+sinx)+1))/x^3)$
per ottenere $ln(1+f(x))$e moltiplico e divido per $(x-sinx)/(1+sinx)$
$lim_(x->0)(ln((x-sinx)/(1+sinx)+1))*[(x-sinx)/(1+sinx)]/[(x-sinx)/(1+sinx)]*1/x^3$

pper ottenere il limite notevole

$lim_(x->0)(ln((x-sinx)/(1+sinx)+1))/[(x-sinx)/(1+sinx)]=1$

[Luca.Lussardi]

Si esatto, quello che resta e' facile, penso.

[Comeover]

La ringrazio,si è rivelato molto utile .
Tanto per sapere, da studente le chiedo perchè non è lecito il passaggio iniziale?Ho moltiplicato e diviso per una stessa quantità entrambi i membri della sottrazione a numeratore...

[Luca.Lussardi]

Bisogna stare attenti coi confronti asintotici e alla relativa algebra, in genere le cose vanno bene con prodotti e meno bene con somme. Detto in altre parole, vale questo discorso (non entro troppo in dettagli su tutte le ipotesi) : se $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ e $\lim_{x\to x_0}\frac{u(x)}{v(x)}=1$ allora puoi mettere $g$ al posto di $f$ e $v$ al posto di $u$ per calcolare $\lim_{x\to x_0}f(x)u(x)$ oppure $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{u(x)}$, ovvero vale $\lim_{x\to x_0}f(x)u(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)v(x)$ e $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{u(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{v(x)}$. La stessa proprieta' non vale se invece devi calcolare $\lim_{x\to x_0}(f(x) \pm u(x))$: in generale non e' infatti vero, fermo restando che $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ e $\lim_{x\to x_0}\frac{u(x)}{v(x)}=1$, che $\lim_{x\to x_0}(f(x) \pm u(x))=\lim_{x\to x_0}(g(x) \pm v(x))$. Puoi fare dei semplici esempi per convincerti, prova per esempio a fare cose del tipo $(x+1)x-(x+1)^2\sin x$ come nel tuo caso, per $x\to 0$, mi sembra che non sia vero che $\lim_{x\to 0}\frac{(x+1)x-(x+1)^2\sin x}{x-\sin x}=1$.