Rettificabilità di una curva
Mi sono autoconvinto a dimostrare questo odioso teorema, ma ovviamente i libri se ne vanno per i fatti loro quindi ho provato a farlo solo
Lemma:
Per comodità considero $S$ l’insieme delle suddivisioni di un intervallo $I$ e data $P={t_0,...,t_n}$ suddivisione di $I$ consideriamo $L(x,P):=sum_(k inI_n)||x(t_k)-x(t_(k-1))||$
teorema
Sia $x:I->V$ una curva.
$x$ regolare $ => s u pL(x,P)=int_(a)^(b)||x’(t)||dt$
Supponiamo di aver già mostrato che $int_(a)^(b)||x’(t)||dt$ sia un maggiorante, non è questa la parte che mi pesa.
Allora in poche parole si tratta di trovare il sup della funzione $f(P)=L(x,P)$ al variare di $P inS$
Quindi la prima considerazione che si fa è il fatto che per il teorema di Heine-Cantor la curva è uniformemente continua in $I$.
$ forallepsilon>0existsdelta>0:||x’(t)-x’(s)||
Ora fissiamo un qualsiasi $epsilon>0$ e scegliamo una suddivisione $P={t_0,...,t_n}$ tale che $max_(k in I_n) |t_k-t_(k-1)|
$int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)||dt=int_(t_(k-1))^(t_k)||(x’(t)-x’(s))+x’(s)||dtleq$
$leq int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)-x’(s)||dt+int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(s)||dt=$
$=int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)-x’(s)||dt+||x’(s)||*(t_k-t_(k-1))$
Questo è vero comunque preso $s in[t_(k-1),t_k]$
Per la convergenza uniforme
$int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)||dt
Questo passaggio è giustificato dal fatto che $t,s in [t_(k-1),t_k]$ pertanto $|t-s|leq|t_k-t_(k-1)|
Per il Lemma precedente esiste $c_k in (t_(k-1),t_k):||x’(c_k)||leq(||x(t_k)-x(t_(k-1))||)/(t_k-t_(k-1))$
Dunque in sostanza essendo vero per ogni $s in[t_(k-1),t_k]$ varrà anche per $s=c_k$ e si ottiene
$int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)||dt
Chiaramente questo è possibile per tutti i $k in I_n$ pertanto sommando membro a membro per tali $k$
$int_(a)^(b)||x’(t)||dt
dunque si è mostrato che comunque preso $epsilon>0$ esiste una suddivisione che mi verifica la condizione per il sup.
Quindi si ottiene che la lunghezza di curva è proprio quel valore di integrale.
Che ne pensate?
Lemma:
Per comodità considero $S$ l’insieme delle suddivisioni di un intervallo $I$ e data $P={t_0,...,t_n}$ suddivisione di $I$ consideriamo $L(x,P):=sum_(k inI_n)||x(t_k)-x(t_(k-1))||$
teorema
Sia $x:I->V$ una curva.
$x$ regolare $ => s u pL(x,P)=int_(a)^(b)||x’(t)||dt$
Supponiamo di aver già mostrato che $int_(a)^(b)||x’(t)||dt$ sia un maggiorante, non è questa la parte che mi pesa.
Allora in poche parole si tratta di trovare il sup della funzione $f(P)=L(x,P)$ al variare di $P inS$
Quindi la prima considerazione che si fa è il fatto che per il teorema di Heine-Cantor la curva è uniformemente continua in $I$.
$ forallepsilon>0existsdelta>0:||x’(t)-x’(s)||
Ora fissiamo un qualsiasi $epsilon>0$ e scegliamo una suddivisione $P={t_0,...,t_n}$ tale che $max_(k in I_n) |t_k-t_(k-1)|
$int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)||dt=int_(t_(k-1))^(t_k)||(x’(t)-x’(s))+x’(s)||dtleq$
$leq int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)-x’(s)||dt+int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(s)||dt=$
$=int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)-x’(s)||dt+||x’(s)||*(t_k-t_(k-1))$
Questo è vero comunque preso $s in[t_(k-1),t_k]$
Per la convergenza uniforme
$int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)||dt
Questo passaggio è giustificato dal fatto che $t,s in [t_(k-1),t_k]$ pertanto $|t-s|leq|t_k-t_(k-1)|
Per il Lemma precedente esiste $c_k in (t_(k-1),t_k):||x’(c_k)||leq(||x(t_k)-x(t_(k-1))||)/(t_k-t_(k-1))$
Dunque in sostanza essendo vero per ogni $s in[t_(k-1),t_k]$ varrà anche per $s=c_k$ e si ottiene
$int_(t_(k-1))^(t_k)||x’(t)||dt
Chiaramente questo è possibile per tutti i $k in I_n$ pertanto sommando membro a membro per tali $k$
$int_(a)^(b)||x’(t)||dt
dunque si è mostrato che comunque preso $epsilon>0$ esiste una suddivisione che mi verifica la condizione per il sup.
Quindi si ottiene che la lunghezza di curva è proprio quel valore di integrale.
Che ne pensate?
Risposte
Non ho letto nulla, perché l'enunciato è falso. Esempio: \(x(t)=(\cos t, \sin t),\ I=[0, 2\pi]\). Allora \(|\dot x (t)|=1\) mentre \( |x(2\pi)-x(0)|=0\), quindi stai cercando di dimostrare che
\[
1\le 0.\]
\[
1\le 0.\]
Cabbasiso il verso della disuguaglianza è al contrario!
Quindi Anto, tu vuoi dimostrare che
\[
|x(b)-x(a)|\le (b-a)\sup_{t\in[a, b]} |\dot{x}(t)|.\]
Giusto? Io sono un grosso fan del teorema fondamentale del calcolo integrale. Per economia di pensiero, mi piace ricondurre ad esso tutti i teoremi di valor medio e le generalizzazioni di ordine superiore (come il resto di Taylor). In questo modo mi devo ricordare solo il teorema fondamentale del calcolo e non una miriade di teoremini.
Nello specifico,
\[
x(b)-x(a)=\int_a^b \dot{x}(t)\, dt, \]
e basta usare la disuguaglianza triangolare
\[
\left\lvert \int_a^b \dot{x}(t)\, dt\right\rvert\le (b-a)\sup_{t\in [a, b]} |\dot x(t)|, \]
per concludere.
\[
|x(b)-x(a)|\le (b-a)\sup_{t\in[a, b]} |\dot{x}(t)|.\]
Giusto? Io sono un grosso fan del teorema fondamentale del calcolo integrale. Per economia di pensiero, mi piace ricondurre ad esso tutti i teoremi di valor medio e le generalizzazioni di ordine superiore (come il resto di Taylor). In questo modo mi devo ricordare solo il teorema fondamentale del calcolo e non una miriade di teoremini.
Nello specifico,
\[
x(b)-x(a)=\int_a^b \dot{x}(t)\, dt, \]
e basta usare la disuguaglianza triangolare
\[
\left\lvert \int_a^b \dot{x}(t)\, dt\right\rvert\le (b-a)\sup_{t\in [a, b]} |\dot x(t)|, \]
per concludere.
Davvero bella questa. Poi visto che $||x’(t)||$ è una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato esiste un $c in I$ per cui quella vale.
Io la avevo dimostrata diversamente, in questo modo:
Prendiamo $x:I->V$ continua in $I$ e derivabile nell’interno. Fissiamo una base $B={e_1,...,e_n}$ dello spazio normato e abbiamo le coordinate $f_k:I->V,forallk in I_n$ con $I=[a,b]$
Per ipotesi si hanno $c_1,...,c_n in (a,b): df_k(c_k)=(f_k(b)-f_k(a))/(b-a)$
[size=150]$||sum_(k=1)^(n)df_k(c_k)e_k||=||sum_(k=1)^(n)(f_k(b)-f_k(a))/(b-a)*e_k||=||(x(b)-x(a))/(b-a)||$[/size]
Ieri ho fatto una supposizione sbagliata, dovrei dimostrare che l’insieme
${t inI:||sum_(k=1)^(n)df_k(c_k)e_k||leq||x’(t)||}$ sia non vuoto, solo che non riesco.
mi piacerebbe concludere anche questa dimostrazione che mostra come entri in gioco il teorema di Lagrange
Purtroppo nella tua dimostrazione dovrei prima mostrare che $||int_(a)^(b)x’(t)dt||leqint_(a)^(b)||x’(t)||dt$ cosa che ho dimostrato solo per spazi a prodotto scalare e non per spazi normati in generale.
Detesto usare cose che non ho dimostrato.
Io la avevo dimostrata diversamente, in questo modo:
Prendiamo $x:I->V$ continua in $I$ e derivabile nell’interno. Fissiamo una base $B={e_1,...,e_n}$ dello spazio normato e abbiamo le coordinate $f_k:I->V,forallk in I_n$ con $I=[a,b]$
Per ipotesi si hanno $c_1,...,c_n in (a,b): df_k(c_k)=(f_k(b)-f_k(a))/(b-a)$
[size=150]$||sum_(k=1)^(n)df_k(c_k)e_k||=||sum_(k=1)^(n)(f_k(b)-f_k(a))/(b-a)*e_k||=||(x(b)-x(a))/(b-a)||$[/size]
Ieri ho fatto una supposizione sbagliata, dovrei dimostrare che l’insieme
${t inI:||sum_(k=1)^(n)df_k(c_k)e_k||leq||x’(t)||}$ sia non vuoto, solo che non riesco.
mi piacerebbe concludere anche questa dimostrazione che mostra come entri in gioco il teorema di Lagrange
Purtroppo nella tua dimostrazione dovrei prima mostrare che $||int_(a)^(b)x’(t)dt||leqint_(a)^(b)||x’(t)||dt$ cosa che ho dimostrato solo per spazi a prodotto scalare e non per spazi normati in generale.
Detesto usare cose che non ho dimostrato.
Quella proprietà è implicita nella definizione stessa di integrale. Come dicevo, se sei d'accordo che
\[
\left\|\sum_{j=1}^n y_j \right\| \le \sum_{j=1}^n \|y_j\|,
\]
allora non puoi non essere d'accordo su
\[
\left\|\int_a^b y(t)\, dt \right\| \le \int_a^b \|y(t)\|\, dt, \]
perché altrimenti significa che non hai chiaro il concetto stesso di integrale.
\[
\left\|\sum_{j=1}^n y_j \right\| \le \sum_{j=1}^n \|y_j\|,
\]
allora non puoi non essere d'accordo su
\[
\left\|\int_a^b y(t)\, dt \right\| \le \int_a^b \|y(t)\|\, dt, \]
perché altrimenti significa che non hai chiaro il concetto stesso di integrale.
Giustamente non hai tutti i torti, per ora sono fuso totalmente.
Cercherò comunque di concludere quella dimostrazione
Cercherò comunque di concludere quella dimostrazione
Secondo me la cosa che stai cercando di dimostrare è pure falsa. Con gli spazi normati c'è poco da scegliere basi. Lascia perdere, è una strada senza uscita.
Ho scritto un pezzo di un capitolo della tesi triennale su queste cose - vedi qui, le prime tre-quattro pagine del capitolo 3. In particolare, se non ho capito male, stai cercando di dimostrare il Teorema 3.2.3.
@dissonance
Quale delle due dimostrazioni? Dovrebbero essere vere entrambe le affermazioni
@delirium
Si sto cercando di dimostrare che quell’integrale, per curve regolari, coincide con la lunghezza della curva. Il problema è che invertendo la disuguaglianza, cambia tutta la dimostrazione che ho fatto e che ancora non ho ripreso.
Il problema è che molti libri fanno tendere $epsilon$ a $0$ usano cose ambigue e preferisco non cercare di capire cose non troppo rigorose. Magari quello che hai scritto tu è pure fuori la mia attuale portata
Quale delle due dimostrazioni? Dovrebbero essere vere entrambe le affermazioni
@delirium
Si sto cercando di dimostrare che quell’integrale, per curve regolari, coincide con la lunghezza della curva. Il problema è che invertendo la disuguaglianza, cambia tutta la dimostrazione che ho fatto e che ancora non ho ripreso.
Il problema è che molti libri fanno tendere $epsilon$ a $0$ usano cose ambigue e preferisco non cercare di capire cose non troppo rigorose. Magari quello che hai scritto tu è pure fuori la mia attuale portata
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