Rette tangenti
Ho un dubbio con un esercizio:
Sia $f(x)=x^3-x$, dato un punto P nel piano, quante sono, al massimo, le rette tangenti a $f$ e passanti per P? A prima vista sembrano 2, però non so dimostrarlo. Ne sono riuscito a trovare un punto per il quale passino almeno tre rette tangenti.
Sia $f(x)=x^3-x$, dato un punto P nel piano, quante sono, al massimo, le rette tangenti a $f$ e passanti per P? A prima vista sembrano 2, però non so dimostrarlo. Ne sono riuscito a trovare un punto per il quale passino almeno tre rette tangenti.
Risposte
Data una funzione $y=f(x)$ e un punto $P(x_0,y_0)$ ad esso sterno, per $P$ passa il fascio di rette $y-y_0=m(x-x_0)$. Tra esse quelle tangenti a alla curva in un punto $Q(a,f(a))$ di essa, sono quelle per cui
$f'(a)=m,\ f(a)-y_0=m(a-x_0)$
Ti aiuta?
$f'(a)=m,\ f(a)-y_0=m(a-x_0)$
Ti aiuta?
Dalla seconda condizione che ho scritto si trova
$m={f(a)-y_0}/{a-x_0}$
per cui si ottiene l'equazione in $a$
$f'(a)={f(a)-y_0}/{a-x_0}$
Basta vedere, al variare di $x_0,y_0$ quante soluzioni ha tale equazione.
$m={f(a)-y_0}/{a-x_0}$
per cui si ottiene l'equazione in $a$
$f'(a)={f(a)-y_0}/{a-x_0}$
Basta vedere, al variare di $x_0,y_0$ quante soluzioni ha tale equazione.
in effetti è stata la prima cosa a cui ho pensato, ha sempre almeno una soluzione perché è un equazione di terzo grado, e per lo stesso motivo non ne ha più di tre.
Si trovano abbastanza facilmente casi in cui ci sono due rette tangenti, il mio problema era trovare un caso (se esiste) in cui ci passano 3 rette tangenti oppure dimostrare che tale caso è impossibile
Forse ho trovato un punto per cui ne passano tre di tangenti: $(-1,2/(3sqrt3))$
Grazie mille comunque per i tuoi consigli
Grazie mille comunque per i tuoi consigli
L'equazione che viene fuori è la seguente:
$g(a)=2a^3-3x_0 a^2+x_0-y_0=0$
Ora, la funzione che determina l'equazione è, come dicevi, di terzo grado (cubica) per cui ci sono al più 3 soluzioni reali e sicuramente ce n'è una.
Poiché si ha $g'(a)=6a^2-6x_0 a\ge 0$ se e solo se
1) se $x_0>0,\qquad a\le 0,\ a\ge x_0$;
2) se $x_0=0,\qquad \forall\ a\in RR$;
3) se $x_0<0,\qquad a\le x_0,\ a\ge 0$;
abbiamo le seguenti situazioni
1) $g(a)$ ha un massimo in $(0,g(0)=x_0-y_0)$ e un minimo in $(x_0,g(x_0)=x_0-y_0-x_0^3)$: si ha allora che
- se $x_0-y_0<0$ l'equazione ha una sola soluzione in $(x_0,+\infty)$,
- se $x_0=y_0$ c'è una soluzione doppia in $a=0$ e una in $a=3/2 x_0$,
- se $x_0-y_0>0$ e $x_0-y_0-x_0^3<0$ si hanno tre soluzioni distinte in $(-\infty,0),\ (0,x_0),\ (x_0,+\infty)$
- se $x_0-y_0>0$ e $x_0^3=x_0-y_0$ si ha una soluzione in $a=-{x_0}/2$ e la soluzione doppia $a=x_0$;
- se $x_0-y_0>0$ e $x_0-y_0-x_0^3>0$ si ha una sola soluzione in $(-\infty,0)$.
2) $g(a)$ ha un minimo assoluto in $a=0$ e quindi si ha l'unica soluzione reale $a=\root[3]{{y_0}/2}$.
3) $g(a)$ ha un minimo in $(0,g(0)=x_0-y_0)$ e un massimo in $(x_0,g(x_0)=x_0-y_0-x_0^3)$: si ha allora che
- se $x_0-y_0-x_0^3<0$ l'equazione ha una sola soluzione in $(0,+\infty)$,
- se $x_0-y_0=x_0^3$ c'è una soluzione doppia in $a=x_0$ e una in $a=-{x_0}/2$,
- se $x_0-y_0-x_0^3>0$ e $x_0-y_0<0$ si hanno tre soluzioni distinte in $(-\infty,x_0),\ (x_0,0),\ (0,+\infty)$
- se $x_0-y_0-x_0^3>0$ e $x_0=y_0$ si ha una soluzione in $a=3/2 x_0$ e la soluzione doppia $a=0$;
- se $x_0-y_0-x_0^3>0$ e $x_0-y_0>0$ si ha una sola soluzione in $(-\infty,x_0)$.
Detto questo, ogni singola soluzione $a$ dell'equazione (non contate con la molteplicità) da luogo ad una differente tangente, per cui vedi che ci sono casi con 1, due o tre tangenti (mai nessuna).
$g(a)=2a^3-3x_0 a^2+x_0-y_0=0$
Ora, la funzione che determina l'equazione è, come dicevi, di terzo grado (cubica) per cui ci sono al più 3 soluzioni reali e sicuramente ce n'è una.
Poiché si ha $g'(a)=6a^2-6x_0 a\ge 0$ se e solo se
1) se $x_0>0,\qquad a\le 0,\ a\ge x_0$;
2) se $x_0=0,\qquad \forall\ a\in RR$;
3) se $x_0<0,\qquad a\le x_0,\ a\ge 0$;
abbiamo le seguenti situazioni
1) $g(a)$ ha un massimo in $(0,g(0)=x_0-y_0)$ e un minimo in $(x_0,g(x_0)=x_0-y_0-x_0^3)$: si ha allora che
- se $x_0-y_0<0$ l'equazione ha una sola soluzione in $(x_0,+\infty)$,
- se $x_0=y_0$ c'è una soluzione doppia in $a=0$ e una in $a=3/2 x_0$,
- se $x_0-y_0>0$ e $x_0-y_0-x_0^3<0$ si hanno tre soluzioni distinte in $(-\infty,0),\ (0,x_0),\ (x_0,+\infty)$
- se $x_0-y_0>0$ e $x_0^3=x_0-y_0$ si ha una soluzione in $a=-{x_0}/2$ e la soluzione doppia $a=x_0$;
- se $x_0-y_0>0$ e $x_0-y_0-x_0^3>0$ si ha una sola soluzione in $(-\infty,0)$.
2) $g(a)$ ha un minimo assoluto in $a=0$ e quindi si ha l'unica soluzione reale $a=\root[3]{{y_0}/2}$.
3) $g(a)$ ha un minimo in $(0,g(0)=x_0-y_0)$ e un massimo in $(x_0,g(x_0)=x_0-y_0-x_0^3)$: si ha allora che
- se $x_0-y_0-x_0^3<0$ l'equazione ha una sola soluzione in $(0,+\infty)$,
- se $x_0-y_0=x_0^3$ c'è una soluzione doppia in $a=x_0$ e una in $a=-{x_0}/2$,
- se $x_0-y_0-x_0^3>0$ e $x_0-y_0<0$ si hanno tre soluzioni distinte in $(-\infty,x_0),\ (x_0,0),\ (0,+\infty)$
- se $x_0-y_0-x_0^3>0$ e $x_0=y_0$ si ha una soluzione in $a=3/2 x_0$ e la soluzione doppia $a=0$;
- se $x_0-y_0-x_0^3>0$ e $x_0-y_0>0$ si ha una sola soluzione in $(-\infty,x_0)$.
Detto questo, ogni singola soluzione $a$ dell'equazione (non contate con la molteplicità) da luogo ad una differente tangente, per cui vedi che ci sono casi con 1, due o tre tangenti (mai nessuna).
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