Rette contenute in un piano

[crocodile1]

Ciao a tutti!

Ho questo problema da risolvere:
Stabilire per quali valori del parametro $a$ le seguenti rette
\begin{equation}
\begin{cases}
x=1+k\\y=1+ak\\z=-1-k
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
x=1+t\\y=2t\\z=t
\end{cases}
\end{equation}
risultano entrambe contenute in un piano.

Ora io ho pensato che per essere contenute nel piano i loro parametri direttori devono essere perpendicolari ai parametri direttori del piano, per questo ho preso la seconda retta (di cui conosco i parametri direttori) e ho trovato i parametri direttori del piano parallelo a quest'ultima facendo $(1,2,1)*(a,b,c)=0$ trovando $(-1,1,-1)$.
Dopo di che ho fatto la stessa cosa con la prima retta, $(1,a,-1)*(-1,1,-1)=0$ trovando che le rette sono contenute nel piano se $a=0$.
Oltre a voler domandare se è giusta l'impostazione volevo sapere se i punti di applicazione delle rette devono rispettare delle condizioni o possono essere liberi.

[anto_zoolander]

"crocodile":Ora io ho pensato che per essere contenute nel piano i loro parametri direttori devono essere perpendicolari ai parametri direttori del piano.

Puoi spiegarti meglio?

Vediamo se può aiutarti a capire da solo se hai fatto correttamente.
In generale due rette $r,s$ sono complanari se esiste un piano $Pi$ che li contiene.

due rette sono complanari se e solo se o sono parallele o sono incidenti

Dunque devi trovare $a inRR$ per cui $r,s$ o incidono o sono parallele.
La seconda è abbastanza facile, basta impostare che i vettori direttori siano proporzionali.
Per la prima basta imporre che l’intersezione sia non nulla.

[crocodile1]

"anto_zoolander":
due rette sono complanari se e solo se o sono parallele o sono incidenti

Per incidenti si intende che coincidono in un punto ma hanno parametri direttori non proporzionali, se no sarebbero la stessa retta, giusto?

Quindi se io scelgo che le 2 rette siano parallele trovo che per $a=1/2$ sono contenute nel piano?

Ciao!