Rettangoli in insiemi aperti
Come dimostrereste che dentro un aperto \(\displaystyle \mathcal{A}\subset\mathbb{R}^m \), qualunque rettangolo chiuso e limitato Q può essere inserito all'interno di un altro rettangolo più grande Q', sempre tutto contenuto in \(\displaystyle \mathcal{A} \)?
Il filo logico che ho seguito io mi sembra un pò contorto e mi viene il dubbio che esiste un modo più pulito per eseguire la dimostrazione, che io magari non vedo. In ogni caso io ho fatto così...
\(\displaystyle \partial Q \) è chiuso e limitato \(\displaystyle \implies \partial Q \) è compatto.
Ogni punto di \(\displaystyle \partial Q \) è contenuto in \(\displaystyle \mathcal{A} \) per ipotesi \(\displaystyle \implies \) ognuno di essi è il centro di una palla interamente contenuta in \(\displaystyle \mathcal{A} \). L'insieme di queste palle formano una copertura di \(\displaystyle \partial Q \) dalla quale, essendo \(\displaystyle \partial Q \) compatto, se ne può estrarre una sottofamiglia finita che ancora ricopre \(\displaystyle \partial Q \).
Essendo finita tale famiglia, finiti sono anche i punti di intersezione tra queste sfere che cadono fuori da Q. Chiamiamo tali punti:
\(\displaystyle \mathbf{p}_1=(p_1^1,...,p_1^m) \)
\(\displaystyle \mathbf{p}_2=(p_2^1,...,p_2^m) \)
\(\displaystyle ... \)
\(\displaystyle \mathbf{p}_N=(p_N^1,...,p_N^m) \)
Tra questi N punti, prendo quello a distanza minima da \(\displaystyle \partial Q \), che indico con \(\displaystyle \mathbf{p}_0 \) (forse il fatto che questo minimo esista sempre necessita di una dimostrazione più approfondita, ma sono abbastanza convinto che non sia falso).
Ora abbiamo finito, poiché se prima il rettangolo Q era l'insieme:
\(\displaystyle Q=\{|x^1|\leq d_1, |x^2|\leq d_2,...,|x^m|\leq d_m\} \)
(senza perdita di generalità l'ho centrato nell'origine) allora il rettangolo Q' sarà:
\(\displaystyle Q'=\{\max\{-d_1,-p_0^1\}\leq x^1 \leq \max\{d_1,p_0^1\}, \max\{-d_2,-p_0^2\}\leq x^2 \leq \max\{d_2,p_0^2\},...,\max\{-d_m,-p_0^m\}\leq x^m \leq \max\{d_m,p_0^m\}\} \)
Ho seguito una strada troppo artificiosa?
Il filo logico che ho seguito io mi sembra un pò contorto e mi viene il dubbio che esiste un modo più pulito per eseguire la dimostrazione, che io magari non vedo. In ogni caso io ho fatto così...
\(\displaystyle \partial Q \) è chiuso e limitato \(\displaystyle \implies \partial Q \) è compatto.
Ogni punto di \(\displaystyle \partial Q \) è contenuto in \(\displaystyle \mathcal{A} \) per ipotesi \(\displaystyle \implies \) ognuno di essi è il centro di una palla interamente contenuta in \(\displaystyle \mathcal{A} \). L'insieme di queste palle formano una copertura di \(\displaystyle \partial Q \) dalla quale, essendo \(\displaystyle \partial Q \) compatto, se ne può estrarre una sottofamiglia finita che ancora ricopre \(\displaystyle \partial Q \).
Essendo finita tale famiglia, finiti sono anche i punti di intersezione tra queste sfere che cadono fuori da Q. Chiamiamo tali punti:
\(\displaystyle \mathbf{p}_1=(p_1^1,...,p_1^m) \)
\(\displaystyle \mathbf{p}_2=(p_2^1,...,p_2^m) \)
\(\displaystyle ... \)
\(\displaystyle \mathbf{p}_N=(p_N^1,...,p_N^m) \)
Tra questi N punti, prendo quello a distanza minima da \(\displaystyle \partial Q \), che indico con \(\displaystyle \mathbf{p}_0 \) (forse il fatto che questo minimo esista sempre necessita di una dimostrazione più approfondita, ma sono abbastanza convinto che non sia falso).
Ora abbiamo finito, poiché se prima il rettangolo Q era l'insieme:
\(\displaystyle Q=\{|x^1|\leq d_1, |x^2|\leq d_2,...,|x^m|\leq d_m\} \)
(senza perdita di generalità l'ho centrato nell'origine) allora il rettangolo Q' sarà:
\(\displaystyle Q'=\{\max\{-d_1,-p_0^1\}\leq x^1 \leq \max\{d_1,p_0^1\}, \max\{-d_2,-p_0^2\}\leq x^2 \leq \max\{d_2,p_0^2\},...,\max\{-d_m,-p_0^m\}\leq x^m \leq \max\{d_m,p_0^m\}\} \)
Ho seguito una strada troppo artificiosa?
Risposte
Si, secondo me è quello. Ci vuole la compattezza di Rn in qualche modo. Immagino che su ell^2 (la versione infinito dimensionale di Rn) sarà falso, simpático problema. Comunque tu hai fatto bene.
Grazie @dissonance.
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