Retta tangente di funzione definita a tratti

[Amedeodes]

Buongiorno,

Vi presento un esercizio che mi sta dando qualche problema:

trovare l'equazione della retta tangente nel punto (0,0) della funzione

$ {(frac(x-int_(0)^(x) e^(t^2) dt)(x^2)),(0):} $

(non capisco come aggiungerli nel sistema, ma la prima è per $x ne 0$, la seconda invece per $x = 0$)

Mi trovo in difficoltà anche solo per verificarne la continuità; ho pensato di sviluppare in serie l'integrale per renderlo più facile da usare, ma il limite continua a venirmi infinito quando in realtà dovrebbe essere 0.

per $x to 0$

$ int_(0)^(x) e^(t^2) dt = frac(2x^3)(6) + o(x^3) $

perché, posto $f(x) = int_(0)^(x) e^(t^2) dt$:

$f(0) = 0$

$d/dx[f(x)] = e^(x^2)-e^0 to f'(0) = 0$

$d/dx [f'(x)] = d/dx[e^(x^2)-1] = 2xe^(x^2) to f''(0) = 0$

$d/dx[f''(x)] = d/dx[2xe^(x^2)] = 2e^(x^2) + 4x^2e^(x^2) to f'''(0) = 2$


quindi:

$ lim_(x to 0^(pm))frac(x-int_(0)^(x) e^(t^2) dt)(x^2)= frac(x-x^3/2 + o(x^3))(x^2) = pm infty $

Tentativo fallito...

Ho poi provato con de l'hopital, ma anche qui pochi risultati:

$ lim_(x to 0)frac(x-int_(0)^(x) e^(t^2) dt)(x^2)= [0/0] = frac(1-e ^(x ^ 2) + 1)(2x) = +infty $

Ad intuizione ho pensato che $lim_(x to 0) int_(0)^(x) e ^(t^2)dt = 0$ visto che $e^(t^2)$ non diverge nelle vicinanze, ma anche qui non so dare dimostrazioni.

Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto.

[moccidentale]

.

[Mephlip]

@AmedeoDes: Hai che $e^u=1+u+\text{o}(u)$ per $u \to 0$, quindi:
$$x-\int_0^x e^{t^2}\text{d}t=x-\int_0^x\left[1+t^2+\text{o}(t^2)\right]\text{d}t=x-x-\frac{x^3}{3}+\text{o}(x^3)=-\frac{x^3}{3}+\text{o}(x^3)$$
Nel tuo procedimento, sbagli la derivata della funzione integrale. Non devi calcolare la differenza agli estremi, perché per ogni $a \in \mathbb{R}$ fissato si ha:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_a^x g(t) \text{d}t=g(x)$$
Stesso errore anche con De L'Hôpital.

[Amedeodes]

Grazie mille per la risposta

nell'ultimo limite sono stato sbrigativo, ma con più passaggi e tutto "corretto" sarebbe così

$ lim_(x→0^pm) (x−∫_0 ^x e^(t^2)dt)/x^2=[0/0]=(1−(e^(x^2)-e^0))/(2x)=pm∞ $

Ho sbagliato a fare la derivata dell'integrale?

Sapendo che

$ int_a^b f(x) dx = F(a)-F(b) $

ho pensato che

$ d/dx[int_a^b f(x) dx] = d/dx[F(b)-F(a)] = f(b)-f(a) $

seguendo la definizione di primitiva di una funzione.

Ti ringrazio ancora per la risposta e per avermi fatto vedere come scrivere una funzione definita a tratti decente

[Amedeodes]

"Mephlip":@AmedeoDes: Hai che $e^u=1+u+\text{o}(u)$ per $u \to 0$, quindi:
$$x-\int_0^x e^{t^2}\text{d}t=x-\int_0^x\left[1+t^2+\text{o}(t^2)\right]\text{d}t=x-x-\frac{x^3}{3}+\text{o}(x^3)=-\frac{x^3}{3}+\text{o}(x^3)$$
Nel tuo procedimento, sbagli la derivata della funzione integrale. Non devi calcolare la differenza agli estremi, perché per ogni $a \in \mathbb{R}$ fissato si ha:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_a^x g(t) \text{d}t=g(x)$$
Stesso errore anche con De L'Hôpital.

Ahhhhhhh
Grazie infinite

[Mephlip]

Prego! Attento, l'integrale:
$$\int_a^b f(x) \text{d}x$$
è un numero, una costante. Lo stesso per la differenza di sua primitiva $F$ calcolata agli estremi, ossia $F(b)-F(a)$. Quindi la sua derivata è $0$. Diversa è invece la derivata della funzione integrale, che è una funzione di uno (o entrambi) gli estremi di integrazione, la cui derivata si calcola come ho scritto nell'altro messaggio .

[Amedeodes]

Si, infatti, appena me lo hai fatto notare mi sono reso conto di star calcolando la derivata di una costante... che scemo.

Grazie mille e buona giornata

[moccidentale]

.

[Amedeodes]

Magari avessi visto funzioni integrali di qualsiasi tipo a lezione, mi sarei risparmiato tanta fatica

[Bokonon]

Dopo aver applicato il Marchese, si può usare pure il limite notevole:
$lim_(x->0) -1/2x((e^(x^2)-1)/x^2)=-1/2*0*1=0$