Retta tangente ad una curva in un punto

[lazzariell]

Buonasera ragazzi, vorrei porvi una domanda semplice ( a mio avviso), che però mi sta creando problemi. Sto preparando analisi 2, capitolo curve, uso il Marcellini come testo, all'inizio proprio del capitolo il libro va a definire la retta tangente alla curva in un dato punto. Fin qui tutto ok. Parte dalla retta secante passante per due punti per poi successivamente farne il limite.
Retta secante: \( (x-x(t0))(y(t1)-y(t0))-(y-y(t0))(x(t1)-x(t0))=0 \)
Successivamente divide per t1-t0 e fa il limite t1-->t0, ottenendo:
Retta tangente : \( (x-x(t0))(y'(t0))-(y-y(t0))(x'(t0))=0 \)
Successivamente il libro afferma: "questa retta è parallela al vettore che ha per componenti le derivate della curva nel punto t0, ovvero:
\( (x'(t0), y'(t0)) \)
Bene, non capisco perchè la retta tangente è parallela al vettore, ho pensato perchè magari i numeri direttori della retta saranno proprio x'(t0) e y'(t0), ma come faccio ad esplicitarmeli dalla retta?

[LLG GKV]

il modo più naturale sarebbe mettere la retta in forma parametrica

[lazzariell]

Grazie per la risposta, è proprio questo il punto non riesco a passare alla rappresentazione parametrica della retta tangente, come potrei fare?

[lazzariell]

Help, please

[singularity]

Sarà banale, ma il vettore velocità è un vettore tangente alla curva per ogni punto. È quindi ovvio che la retta tangente alla curva in un punto e la velocità in tale punto siano paralleli tra loro.

[lazzariell]

E sono d'accordissimo, però materialmente da quei conti che ho scritto come lo capisco? è una domanda più di algebra e geometria che di analisi probabilmente

[singularity]

Il libro, da come hai scritto, lo assume a priori. Nella parte in cui parla della velocità non ti dimostra che essa è sempre tangente alla curva?

[lazzariell]

No ed inoltre cercando in giro, tra pdf, videolezioni, altri libri. Tutti danno per assodato che il vettore le cui componenti sono le derivate prime è tangente alla curva

[LLG GKV]

se proietti la tua curva sui piani ; e ottieni tre funzioni, derivandole risulta intuitivo che ottieni le componenti del vettore tangente alla curva che è composizione di queste tre funzioni

[lazzariell]

Apprezzo la risposta, ma non mi è chiaro sinceramente

[anonymous_0b37e9]

Nel caso generale, quel vettore è tangente alla curva in un suo punto per definizione. Nel caso in cui sia possibile introdurre il concetto di retta tangente a una curva in un suo punto per altra via (le coniche per esempio), si può solo verificare che le due definizioni siano consistenti.

[lazzariell]

Va bene, un'ultima cosa, come faccio a capire proprio analiticamente che la retta ottenuta dopo il limite è parallela a quel vettore?

[anonymous_0b37e9]

In geometria analitica, l'equazione di una retta passante per il punto $(x_0,y_0)$ e parallela alla direzione individuata dal vettore di componenti $(m,n)$ è:

$[(x-x_0)/m=(y-y_0)/n] rarr [(x-x(t_0))/(x'(t_0))=(y-y(t_0))/(y'(t_0))] rarr [x-x(t_0)]y'(t_0)-[y-y(t_0)]x'(t_0)=0$

[lazzariell]

Esattamente questo, grazie. Chiedo scusa se abuso di questo post, non vorrei farne degli altri, è possibile fare un esempio di una funzione differenziabile ma non di classe C1?