Retta tangente
Ciao a tutti, ho un dubbio su questo esercizio:
Sia $f : RR rarr RR$ una funzione strettamente monotona e derivabile, la cui retta tangente in $x_0=1$ ha equazione $y=sqrtex+sqrte$. Detta $g(x)$ la sua funzione inversa, determina l'equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa $2sqrte$.
Allora, dall'equazione della retta deduco che $m=f'(x_0)=sqrte$, e dunque per il teorema della derivata dell'inversa trovo il coefficente angolare della retta che mi interessa: $m=g'(y_0)=1/(f'(x_0))=1/sqrte$-
Adesso mi manca la q. Il punto è che mi perdo per trovarla.
Infatti avrei $q=g(y_0)-g'(y_0)y_0$: ho $y_0=2sqrte$, ho $g'(y_0)$, mi manca $g(y_0)$, e non so come trovarlo.
Anzi, mentre scrivo mi è venuta un'idea. Considerando la retta data, si ha $f(x_0) = q+f'(x_0)x_0$ che è ovviamente uguale a $2sqrte$. Infatti ho $f(x_0)=2sqrte rarr y_0$, e dunque $g(y_0)=x_0=1$.
Quindi $q=1-2=-1$.
Da qui avrei l'equazione $x=1/sqrtey -1$ (poi posso invertire i ruoli di y e x). Posto lo stesso, se qualcuno può confermarmi che è la strada giusta, grazie mille
Sia $f : RR rarr RR$ una funzione strettamente monotona e derivabile, la cui retta tangente in $x_0=1$ ha equazione $y=sqrtex+sqrte$. Detta $g(x)$ la sua funzione inversa, determina l'equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa $2sqrte$.
Allora, dall'equazione della retta deduco che $m=f'(x_0)=sqrte$, e dunque per il teorema della derivata dell'inversa trovo il coefficente angolare della retta che mi interessa: $m=g'(y_0)=1/(f'(x_0))=1/sqrte$-
Adesso mi manca la q. Il punto è che mi perdo per trovarla.
Infatti avrei $q=g(y_0)-g'(y_0)y_0$: ho $y_0=2sqrte$, ho $g'(y_0)$, mi manca $g(y_0)$, e non so come trovarlo.
Anzi, mentre scrivo mi è venuta un'idea. Considerando la retta data, si ha $f(x_0) = q+f'(x_0)x_0$ che è ovviamente uguale a $2sqrte$. Infatti ho $f(x_0)=2sqrte rarr y_0$, e dunque $g(y_0)=x_0=1$.
Quindi $q=1-2=-1$.
Da qui avrei l'equazione $x=1/sqrtey -1$ (poi posso invertire i ruoli di y e x). Posto lo stesso, se qualcuno può confermarmi che è la strada giusta, grazie mille

Risposte
Ciao, secondo me va bene; tieni presente che, senza tanti "giri", essendo $g$ l'inversa di $f$ allora $g(y)=x$ e pertanto $g(y_0)=x_0=1$
Perfetto, grazie mille