Restrizione di una funzione ad una retta, introduzione alle derivate direzionali

[Jokah]

Salve, mi sto trovando in difficoltà a comprendere un "dettaglio" (magari è anche banale e mi è sfuggito qualcosa di sciocco). Vi riporto un passaggio del mio libro:

"Ricordiamo che, se $x_0 \in \mathbb{R}^n$ e $v \in \mathbb{R}^n$, la mappa $r(t):=x_0+vt, t \in \mathbb{R}$ è la parametrizzazione della retta passante per $x_0$ a $t=0$ percorsa con velocità costante $v$, detta equazione parametrica della retta per $x_0$ e direzione $v$.
Siano $A\subset\mathbb{R}^n, f:A\toR"$ una funzione, $x_0$ un punto interno ad $A$ ed $\epsilon_0>0$ tale che $B(x_0,\epsilon_0)\subsetA$ e $v \in \mathbb{R}^n$. Allora $r(t):=x_0+vt\inA$ è costantemente $x_0$ se $v=0$,e,se $v\ne0, r(t)$ è ben definita per ogni $t$, \(\begin{vmatrix}t\end{vmatrix} \leq \frac{\epsilon_0}{\begin{vmatrix}v\end{vmatrix}}\). La funzione composta:

$\phi_v(t):=f(x_0+tv), t\inr^{-1}(A)$

detta la restrizione di $f$ alla retta per $x_0$ e direzione $v$, è definita almeno sull'intervallo \(\begin{vmatrix}t\end{vmatrix} < \frac{\epsilon_0}{\begin{vmatrix}v\end{vmatrix}}\) ($\mathbb{R}$ se $v=0$)"

Non capisco come arriva a stabilire che $r(t)$ è ben definita per ogni $t$, \(\begin{vmatrix}t\end{vmatrix} \leq \frac{\epsilon_0}{\begin{vmatrix}v\end{vmatrix}}\). Insomma, ci dev'essere necessariamente un legame con l'intorno circolare che si è definito: tornando indietro nell'uguaglianza si deduce che \(\begin{vmatrix} vt \end{vmatrix} \leq \epsilon_0\).

L'autore del testo lo dà per scontato, come dà per scontate tante altre cose che non lo sono, ed io, forse offuscato dalla stanchezza, non comprendo come si arrivi ad affermare ciò.

Qualche delucidazione?

[Jokah]

Nessuna idea?

[anto_zoolander]

scrissi un post in merito. click!

volendo aggiungere qualcosa quì ti invito ad osservare che una funzione $f:A->RR$ dove $AsubseteqRR^n$ è un sottoinsieme aperto di $RR^n$ ti dice che per ogni punto $x_0 inA$ esiste una palla aperta $B(x_0,r)subseteqA$. questa è una osservazione fondamentale, perchè ti permette di dire proprio quello he intende il tuo libro, ovvero che

comunque preso $t in(-r/(||v||),r/(||v||))$ si ottiene che $||x_0+tv-x_0||=|t|*||v||
in dettaglio sarebbe che:

$|t| x_0+tv inB(x_0,r)subseteqA => exists!y inRR:f(x_0+tv)=y$

vale a dire che la funzione esiste in ogni punto di quella porzione di retta, che puoi 'calcolarla'.
Per darti una visione geometrica, un punto della retta è del tipo $x_0+tvec(v)=y_0$ quindi la distanza tra il centro della palla e il punto individuato della retta sarà appunto $||x_0+tvec(v)-x_0||=|t|*||vec(v)||$
chiaramente $tvec(v)$ è il vettore di punto iniziale $x_0$ e punto finale $y_0$ pertanto significa che il vettore deve avere lunghezza minore del raggio della circonferenza se vogliamo che il punto stia dentro, da cui si deduce che deve essere $|t|*||vec(v)||
il volere che stia proprio dentro la palla è motivato dal fatto che la palla è contenuta nel dominio, dove essa è definita.
Dire che $f$ è definita su un insieme significa proprio che soddisfi la definizione di funzione.

Ti direi prima di capire bene come funziona con i vettori di norma unitaria, così da farti un'idea.

[Jokah]

Ti ringrazio, ottima l'interpretazione geometrica e altrettanto utile il link