Restrizione a rette

[enpires1]

Ciao a tutti! non riesco a capire un fenomento che si verifica durante lo studio di una funzione usando la "tecnica" delle restrizioni a rette... Faccio un esempio
ho il "paraboloide" $f(x,y) = x^2 + y^2$ e voglio provare a "tagliarlo" lungo alcune rette passanti per l'origine
Provando con le rette che formano gli assi (ovvereo $y=0$ e $x=0$) va tutto bene, mi escono come funzioni
$f(x,0) = x^2$ e $f(0,y) = y^2$
Ma se provo a usare un'altra retta, del tipo la bisettrice $y=x$ ottengo $f(x,x) = x^2 + x^2 = 2x^2$!! Perchè questa parabola è più "stretta"? e ancora se uso rette più inclinate (tipo $y=3x$) il fenomeno si accentua (mi esce $f(x,3x) = x^2 + 9x^2 = 10x^2)
Perchè succede? le rette non dovrebbero tagliare la funzione tutte allo stesso modo??

Grazie tutti in anticipo

[ciampax]

Non rifletti su di una cosa: quando fissi le rette $x=0$ e $y=0$ sai che i punti di cui vuoi trovare l'altezza sul paraboloide hanno coordinate di base pari a $(0,y)$ oppure $(x,0)$ e la loro distanza dall'origine coincide con il valore assoluto della loro coordinata non nulla. Quando prendi invece la retta $y=ax$, le cordinate dei punti sono $(x,ax)$ e la loro distanza dall'orgine è $|x|\sqrt{1+a^2}$. Se allora consideri punti sull'asse $y$ e sulla retta $y=ax$ che abbiano la stessa distanza, hai bisogno che la coordinata del punto sull'asse $y$ sia $(x\sqrt{1+a^2},0)$ e se vai a sostituire nell'equazione del paraboloide trovi che questi due punti hanno la stessa altezza.

In sostanza, avrai la stessa altezza ogni volta che ti trovi su punti equidistanti dall'origine (e quindi sulla stessa circonferenza centrata in $O$).

Spero di essere stato chiaro.

[enpires1]

credo di aver capito praticamente è come se la retta la vedo "di sbieco" e quindi la distanza effettiva dall'origine è maggiore di quella che misuro

[Alexp1]

Concordo con "Ciampax", infatti l'equazione $z=2x^2$ risulta tale perchè è il risultato della proiezione della parabola risultante sul piano $zx$ e quindi è ovvio che sembri più schiacciata, come del resto lo hai notato anche tu, più è grande il coefficiente della retta $y=kx$ e più la parabola risulta schiacciarsi, in realtà la parabola è sempre la stessa, ma il risultato è tale perchè frutto della proiezione.

Ciao