Resto serie convergente
ciao ragazzi, sto cercando ogni tipo di informazione per poter fare esercizi sul resto delle serie, ma non riesco a trovare nulla se non qualche definizione teorica che non riesco ad applicare. Per esempio se io dovessi verificare che l'errore commesso sommando i primi 10 termini di una serie non superino in modulo $10^-2$ per la serie: $\sum_{n=1}^infty 1/(n^2)$ come posso procedere? so che $Rn=Sn-S$, dove S è la somma de primi 10 termini.
Risposte
Per la serie in oggetto io farei così:
innanzi tutto, usando notazioni standard, indichiamo con $S$ la somma di TUTTA la serie, e con
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$, $R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$
la somma parziale ennesima ed il resto ennesimo.
Il tuo problema è dunque stimare $R_n$.
Hai che
$0< R_n < \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)} = \sum_{k=n+1}^{\infty} (\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})$.
L'ultima serie scritta è una serie telescopica, che ha somma $1/n$, per cui
$0 < R_n < \frac{1}{n}$.
innanzi tutto, usando notazioni standard, indichiamo con $S$ la somma di TUTTA la serie, e con
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$, $R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$
la somma parziale ennesima ed il resto ennesimo.
Il tuo problema è dunque stimare $R_n$.
Hai che
$0< R_n < \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)} = \sum_{k=n+1}^{\infty} (\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})$.
L'ultima serie scritta è una serie telescopica, che ha somma $1/n$, per cui
$0 < R_n < \frac{1}{n}$.
mi dispiace ma non ho capito granchè 
..potresti spiegarmelo con l'esempio della serie che ho messo?
..potresti spiegarmelo con l'esempio della serie che ho messo?
Ehm... te l'ho spiegato con la serie che hai messo!
(1) $R_n = \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + ... < \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} + ...$
dove la disuguaglianza discende dal fatto che, in generale,
$(k+1)^2 > k(k+1)$ per ogni $k\in NN$.
Osserva adesso che $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ e analogamente per gli altri termini che compaiono in (1); proseguendo in (1) ottieni dunque
$R_n < ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + ( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) + ...$
A secondo membro hai una tipica serie telescopica (è il resto n-esimo della serie di Mengoli); detto a spanne, tutti i termini si cancellano a due a due (guarda il secondo ed il terzo, ad esempio) e rimane solo il primo:
$R_n < \frac{1}{n}$.
Quindi, se sommi i primi 10 termini della tua serie, sai che commetti un errore $R_{10} < 1/10$.
(1) $R_n = \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + ... < \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} + ...$
dove la disuguaglianza discende dal fatto che, in generale,
$(k+1)^2 > k(k+1)$ per ogni $k\in NN$.
Osserva adesso che $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ e analogamente per gli altri termini che compaiono in (1); proseguendo in (1) ottieni dunque
$R_n < ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + ( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) + ...$
A secondo membro hai una tipica serie telescopica (è il resto n-esimo della serie di Mengoli); detto a spanne, tutti i termini si cancellano a due a due (guarda il secondo ed il terzo, ad esempio) e rimane solo il primo:
$R_n < \frac{1}{n}$.
Quindi, se sommi i primi 10 termini della tua serie, sai che commetti un errore $R_{10} < 1/10$.
ok adesso è chiaro. Ma la serie telescopica vale solo per per l'armonica? oppure se ad esempio prendessi un serie convergente qualsiasi a termini alternati come potrei valutare l'errore?
Per una serie a termini di segno alterno del tipo $\sum_n (-1)^n a_n$, con $a_n\ge 0$ per ogni $n$, e soddisfancente le ipotesi del criterio di Leibnitz, hai la stima
$|R_n| \le a_{n+1}$.
$|R_n| \le a_{n+1}$.
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