Resto negli sviluppi di Taylor
Vorrei capire meglio la questione del resto di Lagrange negli sviluppi di Taylor... per questo vi chiedo se potreste rispondere alle mie domande e dirmi se quello che dico è corretto...
Il resto di Lagrange ci fornisce un'approssimazione più "globale" nell'intervallo $ [x_0;x] $ al contrario del resto di Peano che approssima la funzione in un intorno di $ x_0 $. Vorrei sapere però, come possa darci un'approssimazione più o meno precisa per una funzione oscillante come $ f(x)=sinx $ in un intorno del tipo $ [0;pi] $ .
Inoltre da come leggo Peano approssima la funzione più qualitativamente (come andamento) invece Lagrange più quantitativamente (errore numerico tra $ P(x_0) $ e $ f(x_0) $ )?
Infine volevo chiedervi quale delle due formule seguenti con resto di Lagrange è corretta (a me sembra la prima ma la seconda approssima in modo più preciso la funzione):
$ sinx=x-1/(3!)x^3+sinxi/(4!)x^4 $
$ sinx=x-1/(3!)x^3+sinxi/(5!)x^5 $
Il resto di Lagrange ci fornisce un'approssimazione più "globale" nell'intervallo $ [x_0;x] $ al contrario del resto di Peano che approssima la funzione in un intorno di $ x_0 $. Vorrei sapere però, come possa darci un'approssimazione più o meno precisa per una funzione oscillante come $ f(x)=sinx $ in un intorno del tipo $ [0;pi] $ .
Inoltre da come leggo Peano approssima la funzione più qualitativamente (come andamento) invece Lagrange più quantitativamente (errore numerico tra $ P(x_0) $ e $ f(x_0) $ )?
Infine volevo chiedervi quale delle due formule seguenti con resto di Lagrange è corretta (a me sembra la prima ma la seconda approssima in modo più preciso la funzione):
$ sinx=x-1/(3!)x^3+sinxi/(4!)x^4 $
$ sinx=x-1/(3!)x^3+sinxi/(5!)x^5 $
Risposte
Ciao.
Come sai il resto di Peano e di Lagrange sono due modi diversi di trattare lo stesso errore - cosa intendi però con "approssimazione più globale"? Mentre il primo fornisce una indicazione - come hai detto tu - qualitativa, il secondo dà una informazione quantitativa - ossia un' "approssimazione puramente numerica", per capirci): in questo modo Peano è particolarmente utile, ad esempio, per il calcolo dei limiti, mentre Lagrange è impiegato per calcolare gli errori di approssimazione.
Per $sin(x)$ in $x_0=0$, gli sviluppi di Taylor sono:
Peano: $x-x^3/(3!)+o(x^3)$ - svilppato fino al terzo ordine, dove $o(x^3)$ indica un infinitesimo di ordine superiore (a 3 in questo caso)
Lagrange: $x-x^3/(3!)+sin(xi)/(4!)x^4$ - sviluppato al terzo ordine, dove $sin(xi)/(4!)x^4$ è l'errore commesso nell'approssimare il polinomio di Taylor all'ordine 3, e dove $xi in (x_0[=0],x)$
Per quanto detto sopra, l'errore commesso $E(x)$ vale:
$E(x)=|f(x)-P(x)|=sin(xi)/(4!)x^4=o(x^3)$
NB: ricorda che $o(x^3)$ indica un infinitesimo di ordine non 3, ma superiore a 3
Come sai il resto di Peano e di Lagrange sono due modi diversi di trattare lo stesso errore - cosa intendi però con "approssimazione più globale"? Mentre il primo fornisce una indicazione - come hai detto tu - qualitativa, il secondo dà una informazione quantitativa - ossia un' "approssimazione puramente numerica", per capirci): in questo modo Peano è particolarmente utile, ad esempio, per il calcolo dei limiti, mentre Lagrange è impiegato per calcolare gli errori di approssimazione.
Per $sin(x)$ in $x_0=0$, gli sviluppi di Taylor sono:
Peano: $x-x^3/(3!)+o(x^3)$ - svilppato fino al terzo ordine, dove $o(x^3)$ indica un infinitesimo di ordine superiore (a 3 in questo caso)
Lagrange: $x-x^3/(3!)+sin(xi)/(4!)x^4$ - sviluppato al terzo ordine, dove $sin(xi)/(4!)x^4$ è l'errore commesso nell'approssimare il polinomio di Taylor all'ordine 3, e dove $xi in (x_0[=0],x)$
Per quanto detto sopra, l'errore commesso $E(x)$ vale:
$E(x)=|f(x)-P(x)|=sin(xi)/(4!)x^4=o(x^3)$
NB: ricorda che $o(x^3)$ indica un infinitesimo di ordine non 3, ma superiore a 3
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