Resto ed errore delle serie
Ciao a tutti, mercoledì ho l'esame di Analisi II, e ho un problema, non riesco a capire come risolvere gli esercizi del tipo:
"Calcolare la somma della serie con un errore $<10^-4$"
Ovviamente il valore dell'errore è casuale, solo che proprio non riesco a capire, so che ci sono diversi metodi, diversi a seconda del tipo di serie.
Per esempio se una serie è a segni alterni si ha $R_n
Ma per altri tipi di serie, come si procede? C'è una sorta di formula o procedimento da seguire?
Grazie anticipatamente per le risposte!
"Calcolare la somma della serie con un errore $<10^-4$"
Ovviamente il valore dell'errore è casuale, solo che proprio non riesco a capire, so che ci sono diversi metodi, diversi a seconda del tipo di serie.
Per esempio se una serie è a segni alterni si ha $R_n
Ma per altri tipi di serie, come si procede? C'è una sorta di formula o procedimento da seguire?
Grazie anticipatamente per le risposte!
Risposte
Non c'è proprio nessuno? Neanche magari un link in cui sia spiegato?
Visto che ancora nessuno ti ha risposto, ti dico come finora sto facendo io, anche se non credo che sia il procedimento più giusto, aspetto anche io nuove.
Praticamente io comincio a sommare i primi $k$ termini della sommatoria, fino a che il $k$esimo termine sia minore del limite richiesto dall'esercizio.
Finora ha sempre funzionato, non chiedermi però spiegazioni teoriche! Ora vado a riguardare meglio nel libro di teoria..
Praticamente io comincio a sommare i primi $k$ termini della sommatoria, fino a che il $k$esimo termine sia minore del limite richiesto dall'esercizio.
Finora ha sempre funzionato, non chiedermi però spiegazioni teoriche! Ora vado a riguardare meglio nel libro di teoria..
Eh, però questo presuppone che tu conosca la somma della serie!
Cioè quello che tu dici è giusto, ma funziona solo nelle serie geometriche...
Ora posto un esercizio di un tema d'esame
Cioè quello che tu dici è giusto, ma funziona solo nelle serie geometriche...
Ora posto un esercizio di un tema d'esame
No, te li sommi a mano i primi termini!
si ma se l'errore deve essere di (per esempio) $10^-4$ di una serie, come fai a capire quanti termini devi sommare? Metti che sono 100? cosa fai, ci metti una vita?
Beh per convergere deve tendere rapidamente a 0, quindi di solito non si tratta di più di 4/5 termini. fai una prova!
Ti faccio un esempio:
Approssimare la somma della serie con un errore in modulo inferiore di $10^-2$
$\sum_{n=0}^\infty\((n^2+1)/((n^2+5)*4^n))$
La soluzione la so, anche se non l'ho capita, ma te come faresti?
Approssimare la somma della serie con un errore in modulo inferiore di $10^-2$
$\sum_{n=0}^\infty\((n^2+1)/((n^2+5)*4^n))$
La soluzione la so, anche se non l'ho capita, ma te come faresti?
Altro esempio:
Approssimare la somma della serie con un errore in modulo inferiore di $10^-2$
$\sum_{n=0}^\infty\((-1^n)/(1+sqrt(n)))$
Ora essendo una somma a segni alterni so che $|R_p|
Sai quanto viene? $p>9800$ direi che non è proprio il caso di farlo a mano...
Approssimare la somma della serie con un errore in modulo inferiore di $10^-2$
$\sum_{n=0}^\infty\((-1^n)/(1+sqrt(n)))$
Ora essendo una somma a segni alterni so che $|R_p|
Sai quanto viene? $p>9800$ direi che non è proprio il caso di farlo a mano...
Allora errore minore di $1/100 = 0.01$.
Abbiamo:
$a_0 = 1/5 = 0.2$
$a_1 = 1/12 = 0.083$
$a_2 = 5/(9*16) = 0.0347$
$a_3 = 5/(7*4^3) = 0.0111$
$a_4 = 17/(21*4^4) = 0.00316$
Ok, ci fermiamo qui. Sommiamo i primi termini ed otteniamo: $0,431$
Abbiamo:
$a_0 = 1/5 = 0.2$
$a_1 = 1/12 = 0.083$
$a_2 = 5/(9*16) = 0.0347$
$a_3 = 5/(7*4^3) = 0.0111$
$a_4 = 17/(21*4^4) = 0.00316$
Ok, ci fermiamo qui. Sommiamo i primi termini ed otteniamo: $0,431$
Comunque ti ho già detto che non è la strada più veloce, è l'unica che so e visto che nessuno si è degnato di risponderti pensavo ti potesse tornare utile!
Non credevo, ma in realtà il tuo metodo funziona, in effetti nella serie precedente veniva $p>4$ però non credo di poterglielo scrivere nel compito domani!
Io insistevo perchè cercavo un metodo più "scientifico
Grazie comunque!
Io insistevo perchè cercavo un metodo più "scientifico
Grazie comunque!
Nel caso di una serie a termini positivi io cercherei di maggiorare i termini della serie con quelli di una serie "nota" di cui conosco una stima del resto.
Nell'esempio che facevi $a_n=\frac{n^2+1}{n^2+5}\frac{1}{4^n}\leq\frac{1}{4^n}$ per cui
$\sum_{n=k}^{\infty} a_n\leq\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{4^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n}-\sum_{n=0}^{k-1}\frac{1}{4^n}=\frac{-1}{1/4-1}-\frac{(1/4)^{k}-1}{1/4 - 1}=\frac{(1/4)^k}{1-1/4}=(1/3)(1/4)^{k-1}$
A questo punto devi cercare $k$ in modo che $(1/3)(1/4)^{k-1}<10^{-2}$, cioè $3\cdot 4^{k-1}>100$. Per questo basta prendere $k=4$
Nell'esempio che facevi $a_n=\frac{n^2+1}{n^2+5}\frac{1}{4^n}\leq\frac{1}{4^n}$ per cui
$\sum_{n=k}^{\infty} a_n\leq\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{4^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n}-\sum_{n=0}^{k-1}\frac{1}{4^n}=\frac{-1}{1/4-1}-\frac{(1/4)^{k}-1}{1/4 - 1}=\frac{(1/4)^k}{1-1/4}=(1/3)(1/4)^{k-1}$
A questo punto devi cercare $k$ in modo che $(1/3)(1/4)^{k-1}<10^{-2}$, cioè $3\cdot 4^{k-1}>100$. Per questo basta prendere $k=4$
Grazie mille, anche se alla fine all'esame le serie non ce le ha messe 
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