Resto di peano e lagrange
Ciao a tutti, nel corso di analisi 1 sto studiando il polinomio di taylor con resto di peano e lagrange, ho alcuni dubbi a riguardo.
so che il teorema di Taylor con resto di peano ci da delle informazioni qualitative, piu precisamente ci dice che per $x->x_0$ la funzione resto è un o piccolo di $(x-x_0)^n $.
mentre il teorema di Taylor con resto di lagrange ci fornisce informazioni di tipo quantitativo.. ci da il valore esatto della funzione resto.
non capisco, pero, qual è il loro utilizzo pratico.. cioe a cosa serve seperlo?
spesso nella risoluzione dei limiti utilizziamo gli sviluppi di Taylor, questi teoremi sono correlati a questo?
grazie
so che il teorema di Taylor con resto di peano ci da delle informazioni qualitative, piu precisamente ci dice che per $x->x_0$ la funzione resto è un o piccolo di $(x-x_0)^n $.
mentre il teorema di Taylor con resto di lagrange ci fornisce informazioni di tipo quantitativo.. ci da il valore esatto della funzione resto.
non capisco, pero, qual è il loro utilizzo pratico.. cioe a cosa serve seperlo?
spesso nella risoluzione dei limiti utilizziamo gli sviluppi di Taylor, questi teoremi sono correlati a questo?
grazie
Risposte
Nei limiti è sufficiente il resto di Peano, ma quando devi calcolare il valore approssimato di una funzione in un certo punto con un certo errore prefissato sapendo il suo polinomio di Taylor in quel punto, il resto di Peano non ti serve a nulla dato che non puoi quantificare il resto, ma con Lagrange puoi.
grazie per la risposta,
pero approssimare una funzione in un punto $x_0$ basta sostituire lo stesso a $x$ nella suddetta funzione. Sicuramente sto sbagliando, correggetemi
pero approssimare una funzione in un punto $x_0$ basta sostituire lo stesso a $x$ nella suddetta funzione. Sicuramente sto sbagliando, correggetemi
Beh certo, se la funzione è f(x)=2x^2+5x+5, e vuoi calcolare f(1) allora sostotuisci x=1 e ti viene f(1)=12...ma se hai f(x)=sinx e vuoi sapere quanto vale f(1), come fai? Ti viene f(1)=sin(1)...e quanto vale sin(1)? Tu dirai: beh lo chiedo ad un calcolatore che me lo calcola...e io ti dico: come pensi che i calcolatori calcolino i valori delle funzioni? Con Taylor, e ti danno un valore approssimato, proprio perchè una funzione cpn Taylor diventa nient'altro che un polinomio, e come hai visto prima, i polinomi hanno la particolarità che se vuoi sapere quanto valgono in un punto, basta sostituirci quel punto nella x.
I polinomi sono le funzioni più semplici da studiare, e quindi se si ha una funzione complessa di cui determinare le proprietà, si utilizza Taylor per renderla un polinomio in quell'intorno, e pertanto facilitarne lo studio, Taylor è molto usati in tantissimi ambiti, dalla fisica all'ingegneria, e all'informatica, esistono anche altri tipi di approssimazioni, come per esempio lo sviluppo in serie di Fourier, che in pratica approssima una funzione periodica qualsiasi in una funzione sinusoidale le cui proprietà sono più semplici da studiare.
ottimo, ho capito. Una volta approssimata la nostra funzione, avremo un valore numerico.. il resto di Lagrange sarebbe da aggiungere al valore ottenuto dal polinomio di Taylor? oppure ci indica un errore commesso nella nostra stima?
L'errore di Lagrange di ordine n è l'errore che si commette a troncare il polinomio di Taylor all'ordine n:
Per esempio, considera l'espansione di $e^x$ in $x=0$ con il resto di lagrange:
$e^x=1+x+x^2/2+...+x^n/(n!)+(e^(t)x^(n+1))/((n+1)!)$
E poniamo che tu voglia calcolare un valore approssimato di $e^(0,5)$, cosa fai? sostituisci $x=0,5$ e ti ritrovi:
$e^(0,5)=1+0,5+(0,5)^2/2+...(0,5)^n/(n!)+e^t(0,5^(n+1))/((n+1)!)$
I termini a destra che vanno da $1$ a $(0,5)^n/(n!)$ Sono l'approssimazione di $e^(0,5)$ fino all'ordine $n$, l'ultimo termine di destra, è il resto, ossia quel t è un valore compreso tra $0$ e $0,5$ che ti dice quanto la tua approssimazione è in errore rispetto al valore reale di $e^(0,5)$, ma come si fa a trovare quanto vale questo $t$? se riuscissimo a trovarlo avremmo trovato l'errore esatto che commettiamo nell'approssimare $e^(0,5)$ fino all'ordine $n$, e quindi sommandolo all'errore approssimato otterremmo il valore reale di $e^(0,5)$...il problema è che la formula di Taylor con resto di Lagrange NON ci dice un modo di trovare quel $t$, ma ci dice che quel $t$ esiste, pertanto il nostro errore è compreso tra il massimo che assume quel resto e il minimo che assume, a seconda di quanto valga $t$, che noi NON sappiamo quant'è, pertanto in $[0;0,5]$, il valore minimo di $t$ è $t=0$ e quello massimo è $t=0,5$, pertanto il nostro errore è compreso tra $(0,5^(n+1))/((n+1)!)<=$Errore$<=e^(0,5)(0,5^(n+1))/((n+1)!)$, quindi9 l'errore che commettiamo ad aprossimare $e^(0,5)$ all'ordine $n$ è COME MINIMO $(0,5^(n+1))/((n+1)!)$ e AL MASSIMO $e^(0,5)(0,5^(n+1))/((n+1)!)$
Per esempio, considera l'espansione di $e^x$ in $x=0$ con il resto di lagrange:
$e^x=1+x+x^2/2+...+x^n/(n!)+(e^(t)x^(n+1))/((n+1)!)$
E poniamo che tu voglia calcolare un valore approssimato di $e^(0,5)$, cosa fai? sostituisci $x=0,5$ e ti ritrovi:
$e^(0,5)=1+0,5+(0,5)^2/2+...(0,5)^n/(n!)+e^t(0,5^(n+1))/((n+1)!)$
I termini a destra che vanno da $1$ a $(0,5)^n/(n!)$ Sono l'approssimazione di $e^(0,5)$ fino all'ordine $n$, l'ultimo termine di destra, è il resto, ossia quel t è un valore compreso tra $0$ e $0,5$ che ti dice quanto la tua approssimazione è in errore rispetto al valore reale di $e^(0,5)$, ma come si fa a trovare quanto vale questo $t$? se riuscissimo a trovarlo avremmo trovato l'errore esatto che commettiamo nell'approssimare $e^(0,5)$ fino all'ordine $n$, e quindi sommandolo all'errore approssimato otterremmo il valore reale di $e^(0,5)$...il problema è che la formula di Taylor con resto di Lagrange NON ci dice un modo di trovare quel $t$, ma ci dice che quel $t$ esiste, pertanto il nostro errore è compreso tra il massimo che assume quel resto e il minimo che assume, a seconda di quanto valga $t$, che noi NON sappiamo quant'è, pertanto in $[0;0,5]$, il valore minimo di $t$ è $t=0$ e quello massimo è $t=0,5$, pertanto il nostro errore è compreso tra $(0,5^(n+1))/((n+1)!)<=$Errore$<=e^(0,5)(0,5^(n+1))/((n+1)!)$, quindi9 l'errore che commettiamo ad aprossimare $e^(0,5)$ all'ordine $n$ è COME MINIMO $(0,5^(n+1))/((n+1)!)$ e AL MASSIMO $e^(0,5)(0,5^(n+1))/((n+1)!)$
gentilissimo!
grazie davvero, ora è tutto chiaro
grazie davvero, ora è tutto chiaro
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo