Resto di Lagrange
Salve ragazzi volevo sapere se potevate aiutarmi nella risoluzione di questo quesito.
"Approssimare il valore di $ Tg(1/10) $ con un errore nell'ordine di $ 10^-5 $"
So "teoricamente" che devo utilizzare il resto di lagrange e maggiorare il valore massimo assunto dalla derivata (n+1)esima nell'intervallo scelto per poi trovare un $ n $ tale da far si che il resto sia contenuto nell'errore voluto il problema è che non so assolutamente come metterlo in pratica.
Se qualcuno fosse disposto a spiegarmi i vari passaggi gliene sarei grato
"Approssimare il valore di $ Tg(1/10) $ con un errore nell'ordine di $ 10^-5 $"
So "teoricamente" che devo utilizzare il resto di lagrange e maggiorare il valore massimo assunto dalla derivata (n+1)esima nell'intervallo scelto per poi trovare un $ n $ tale da far si che il resto sia contenuto nell'errore voluto il problema è che non so assolutamente come metterlo in pratica.
Se qualcuno fosse disposto a spiegarmi i vari passaggi gliene sarei grato
Risposte
Up pls!
Perchè intanto non scrivi lo sviluppo della tangente, ai primi 4-5 termini, così ci ragioniamo sopra ?
HInt: lo puoi copiare da qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometria)
HInt: lo puoi copiare da qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometria)
$ tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + o(x^8) $
Il problema è che nello sviluppo della tangente non riesco a trovare una ricorrenza che mi permetta di sapere qualcosa sulla derivata (n+1)esima...ho provato molti metodi diversi di sviluppo e quella più "ripetitiva" mi sembra questa ma non vedo quel qualcosa che possa illuminarmi.
$ f''(x)=2tanx+2tan3x, $
$ f'''(x)=2+8tan2x+6tan4x, $
$ f(IV)(x)=16tanx+40tan3x+24tan5x, $
$ f(V)(x)=16+136tan2x+240tan4x+120tan6x $
Il problema è che nello sviluppo della tangente non riesco a trovare una ricorrenza che mi permetta di sapere qualcosa sulla derivata (n+1)esima...ho provato molti metodi diversi di sviluppo e quella più "ripetitiva" mi sembra questa ma non vedo quel qualcosa che possa illuminarmi.
$ f''(x)=2tanx+2tan3x, $
$ f'''(x)=2+8tan2x+6tan4x, $
$ f(IV)(x)=16tanx+40tan3x+24tan5x, $
$ f(V)(x)=16+136tan2x+240tan4x+120tan6x $
Non importa che non sai trovare una formula ricorsiva. Puoi fare come hai fatto fino a dove basta, in questo caso.
Ora sostituisci $x=1/(10)$ ai vari addendi e vedi (senza bisogno di fare conti precisi) quale termine ti pare sicuramente sotto $10^(-5)$, quindi al posto di quel termine metti il resto di Lagrange di quell'ordine.
Ora sostituisci $x=1/(10)$ ai vari addendi e vedi (senza bisogno di fare conti precisi) quale termine ti pare sicuramente sotto $10^(-5)$, quindi al posto di quel termine metti il resto di Lagrange di quell'ordine.
Quindi tu dici di continuare lo sviluppo e poi sostituire $ 1/10 $ fino a quando non vedo che le prime 5 cifre dopo la virgola mi si ripetono?? Il problema è che dovrei svolgere questi calcoli senza calcolatrice quindi magari esiste qualcosa di più sicuro.. Grazie cmq per la dritta
No! Molto più semplice!
Il primo termine fa $1/10$, che è tanto.
Il secondo termine fa $1/3000$, che è ancora tanto.
Il terzo termine fa $2/15 * 10^(-5) < 10^(-5)$. Forse ci possiamo fermare qua, e al posto di questo mettere il resto di Lagrange di ordine $5$. Dopo di che vediamo se riusciamo a fare la stima per bene.
Il primo termine fa $1/10$, che è tanto.
Il secondo termine fa $1/3000$, che è ancora tanto.
Il terzo termine fa $2/15 * 10^(-5) < 10^(-5)$. Forse ci possiamo fermare qua, e al posto di questo mettere il resto di Lagrange di ordine $5$. Dopo di che vediamo se riusciamo a fare la stima per bene.
$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}, $
Quindi considerando come derivata (n+1) la derivata sesta io so che questa si annulla in zero...non so invece che valore assuma per $ 1/10 $ ma posso sicuramente dire che il massimo valore assunto sarà minore di uno visto che sono molto vicino a zero? ( di questa parte non sono molto sicuto )
Dunque
$ R_n(x)< M_(n+1)|x-x_o|^(n+1)/((n+1)!) $
Con $ M_(n+1) = max[|f^(n+1)(x)| : x in (a,b)] $
Il problema dunque sta nel quanto vale questo massimo...giusto??
Quindi considerando come derivata (n+1) la derivata sesta io so che questa si annulla in zero...non so invece che valore assuma per $ 1/10 $ ma posso sicuramente dire che il massimo valore assunto sarà minore di uno visto che sono molto vicino a zero? ( di questa parte non sono molto sicuto )
Dunque
$ R_n(x)< M_(n+1)|x-x_o|^(n+1)/((n+1)!) $
Con $ M_(n+1) = max[|f^(n+1)(x)| : x in (a,b)] $
Il problema dunque sta nel quanto vale questo massimo...giusto??
Intendevo di scrivere esplicitamente il polinomio di Taylor con resto di Lagrange alla derivata quinta, centrato in $0$.
Lo scrivo io:
[tex]\tan{x} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi}}{5!} x^5[/tex]
Ora sostituiamo [tex]x = \frac{1}{10}[/tex]:
[tex]\tan{ \frac{1}{10}} = \frac{1}{10} + \frac{10^{-3}}{3} + \frac{16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi}}{5!} 10^{-5} = 0,100333 + resto[/tex]
Ora ci serve una stima per eccesso del resto, sperabilmente che dimostri che esso è più piccolo di $10^{-5}$.
Sappiamo che [tex]\tan{ \xi} < \tan{ \frac{1}{10}}[/tex]
Noto che:
[tex]\tan{ \xi} < \tan{ \frac{1}{10}} < \tan{ \frac{ \pi}{6}} = \frac{1}{ \sqrt{3}}[/tex]
Data la struttura del resto, è chiaro che esso cresce al crescere di [tex]\tan{ \xi}[/tex], quindi sicuramente sostituendo [tex]\frac{1}{ \sqrt{3}}[/tex] sovrastimiamo alla grande il resto (speriamo di non avere esagerato!).
Nota come ora non svolgerò calcoli precisi, ma continuo a fare piccole sovrastime, per essere veloce nel calcolo, tuttavia se preferisci fare il calcolo esatto lo puoi fare:
[tex]16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi} < 16 + 42 + \frac{80}{3} + \frac{120}{27} < 16 + 42 + 27 + 6 = 91[/tex]
[tex]\frac{16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi}}{5!} 10^{-5} < \frac{91}{120} 10^{-5} < 10^{-5}[/tex]
Eureka!
Qua siamo stati molto fortunati, che procedendo con una sovrastima estremamente rozza come [tex]\tan{ \pi}{6}[/tex] ( [tex]\frac{ \pi}{6} > \frac{1}{2}[/tex] ! ) e poi continuando a sovrastimare abbiamo dimostrato la precisione richiesta. In realtà si può fare vedere che il valore trovato è molto più preciso che $10^{-5}$, usando una sovrastima più stretta, come [tex]\tan{ \pi}{12}[/tex], la cui tangente si può ricavare con le formule di bisezione. Anche questa è un'approssimazione piuttosto rozza ( [tex]\frac{ \pi}{12} > \frac{1}{4}[/tex].
Risulta:
[tex]\tan{ \frac{ \pi }{12}} = 2 - \sqrt{3} < 0,3 = \frac{3}{10}[/tex]
[tex]\tan^2{ \frac{ \pi }{12}} = \frac{9}{100} < \frac{1}{10}[/tex]
Nota sempre che cerco di arrotondare le sovrastime per fare venire calcoli veloci.
[tex]16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi} < 16 + 13,6 + 2,4 + 0,12 = 32,12[/tex]
Volendo quindi troviamo che il risultato è più preciso di quanto stimato prima di almeno un fattore circa $3$ (abbiamo $32,12$ anzichè $91$).
Per quel che ci serve non ne è valsa la pena di fare questa fatica in più, ma dipende da quanto si vuole essere precisi.
Ovviamente c'è un limite di precisione oltre il quale non si può scendere se ci si ferma a questo resto di Lagrange. Bisogna sviluppare più termini del polinomio se si vogliono ottenere valori molto più accurati.
Spero di avere illustrato come procedere in maniera piuttosto rapida, eppure formalmente precisa, visto che [tex]sovrastimo[/tex] il resto. (E' molto più preciso sovrastimare il resto, piuttosto che fare approssimazioni anche per difetto, sostenendo che tanto non cambiano l'ordine di accuratezza).
Lo scrivo io:
[tex]\tan{x} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi}}{5!} x^5[/tex]
Ora sostituiamo [tex]x = \frac{1}{10}[/tex]:
[tex]\tan{ \frac{1}{10}} = \frac{1}{10} + \frac{10^{-3}}{3} + \frac{16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi}}{5!} 10^{-5} = 0,100333 + resto[/tex]
Ora ci serve una stima per eccesso del resto, sperabilmente che dimostri che esso è più piccolo di $10^{-5}$.
Sappiamo che [tex]\tan{ \xi} < \tan{ \frac{1}{10}}[/tex]
Noto che:
[tex]\tan{ \xi} < \tan{ \frac{1}{10}} < \tan{ \frac{ \pi}{6}} = \frac{1}{ \sqrt{3}}[/tex]
Data la struttura del resto, è chiaro che esso cresce al crescere di [tex]\tan{ \xi}[/tex], quindi sicuramente sostituendo [tex]\frac{1}{ \sqrt{3}}[/tex] sovrastimiamo alla grande il resto (speriamo di non avere esagerato!).
Nota come ora non svolgerò calcoli precisi, ma continuo a fare piccole sovrastime, per essere veloce nel calcolo, tuttavia se preferisci fare il calcolo esatto lo puoi fare:
[tex]16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi} < 16 + 42 + \frac{80}{3} + \frac{120}{27} < 16 + 42 + 27 + 6 = 91[/tex]
[tex]\frac{16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi}}{5!} 10^{-5} < \frac{91}{120} 10^{-5} < 10^{-5}[/tex]
Eureka!
Qua siamo stati molto fortunati, che procedendo con una sovrastima estremamente rozza come [tex]\tan{ \pi}{6}[/tex] ( [tex]\frac{ \pi}{6} > \frac{1}{2}[/tex] ! ) e poi continuando a sovrastimare abbiamo dimostrato la precisione richiesta. In realtà si può fare vedere che il valore trovato è molto più preciso che $10^{-5}$, usando una sovrastima più stretta, come [tex]\tan{ \pi}{12}[/tex], la cui tangente si può ricavare con le formule di bisezione. Anche questa è un'approssimazione piuttosto rozza ( [tex]\frac{ \pi}{12} > \frac{1}{4}[/tex].
Risulta:
[tex]\tan{ \frac{ \pi }{12}} = 2 - \sqrt{3} < 0,3 = \frac{3}{10}[/tex]
[tex]\tan^2{ \frac{ \pi }{12}} = \frac{9}{100} < \frac{1}{10}[/tex]
Nota sempre che cerco di arrotondare le sovrastime per fare venire calcoli veloci.
[tex]16 + 136 \tan^2{ \xi} + 240 \tan^4{ \xi } + 120 \tan^6{ \xi} < 16 + 13,6 + 2,4 + 0,12 = 32,12[/tex]
Volendo quindi troviamo che il risultato è più preciso di quanto stimato prima di almeno un fattore circa $3$ (abbiamo $32,12$ anzichè $91$).
Per quel che ci serve non ne è valsa la pena di fare questa fatica in più, ma dipende da quanto si vuole essere precisi.
Ovviamente c'è un limite di precisione oltre il quale non si può scendere se ci si ferma a questo resto di Lagrange. Bisogna sviluppare più termini del polinomio se si vogliono ottenere valori molto più accurati.
Spero di avere illustrato come procedere in maniera piuttosto rapida, eppure formalmente precisa, visto che [tex]sovrastimo[/tex] il resto. (E' molto più preciso sovrastimare il resto, piuttosto che fare approssimazioni anche per difetto, sostenendo che tanto non cambiano l'ordine di accuratezza).
Cavolo grazie mille non ne sarei mai venuto fuori da me! Grazie ancora e complimenti per il ragionamento
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