Residuo semplice

[PoLe1]

Ciao a tutti!

per calcolare il seguente residuo $(z^3)*e^(1/z)$ in $0$ posso utilizzare la proprietà per cui data una funzione $f(z)=g(z)*h(z)$ risulta che $Res(f,a)=g(a)*Res(h,a)$ ?

se si mi spiegate perché il risultato dovrebbe $1/24$

ciao e grazie

Pole

[leev]

$z^3*e^(1/z) = z^3(1+1/z+(1/z^2)/(2!)+(1/z^3)/(3!)+...) =z^3+z^2+z/2+1/(3!)+1/z*1/(4!)$.
Il residuo corrisponde al coefficente associato a $1/z$, quindi è $1/(4!) =1/24$.
La proprietà che hai scritto, se non erro, vale solo per un polo di ordine 1, ma non è questo il caso.

[Sk_Anonymous]

Se era richiesto il residuo in $z=5$ come veniva?

$5*24$?

[leev]

si ma in z=5 non hai singolarità; il residuo sarebbe quindi 0

[Sk_Anonymous]

Si,avevo capito....volevo capire se,nell'ipotesi di z=5 punto di singolarità,quanto veniva il residuo

[Sk_Anonymous]

Un'altra domanda....poichè il residuo nel punto zero è uguale $c_-1$,nel punto uno quant'è?

[leev]

Mi sa che non ho capito la domanda;
comunque il coefficiente è sempre il $c_(-1)$ dello sviluppo in serie di Laurent della funzione.

[Kroldar]

Se una funzione ammette più singolarità, ciascun residuo è il coefficiente $c_(-1)$ dello sviluppo di Laurent della funzione attorno a quella deterimanta singolarità.

Vediamo un esempio banale:

$f(t)=(5t)/(t^2-3t-4)=(5t)/((t+1)(t-4))=1/(t+1)+4/(t-4)$

In questo caso $1$ è il coefficiente $c_(-1)$ dello sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $-1$, mentre $4$ è il coefficiente $c_(-1)$ dello sviluppo di $f$ intorno a $4$.

[Sk_Anonymous]

Grazie.

Capisco Leev...effettivamente mi ero spiegato male.