Residuo impossibile?
Esercitandomi per il prossimo esame all'università, mi sono imbattuto nel calcolo di questo limite, che mi serve per calcolare un residuo:
\[ \lim_{z\to\frac{\pi}{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{(z-\frac{\pi}{2})\cos z}{2(e^{jz}-j)^2} \]
Dove j, naturalmente, è l'unità immaginaria.
Ho provato in tutti i modi possibili, anche svolgendo la derivata e facendo tutte le moltiplicazioni. Quello che ottengo è sempre una forma indeterminata del tipo \(0/0\). Forse mi sfugge qualcosa. Il risultato del limite, calcolato con Mathematica, dovrebbe essere \(j/2\). Qualcuno sa aiutarmi?
\[ \lim_{z\to\frac{\pi}{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{(z-\frac{\pi}{2})\cos z}{2(e^{jz}-j)^2} \]
Dove j, naturalmente, è l'unità immaginaria.
Ho provato in tutti i modi possibili, anche svolgendo la derivata e facendo tutte le moltiplicazioni. Quello che ottengo è sempre una forma indeterminata del tipo \(0/0\). Forse mi sfugge qualcosa. Il risultato del limite, calcolato con Mathematica, dovrebbe essere \(j/2\). Qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
Prova così:
$[cosz=-sin(z-pi/2)=-(z-pi/2)+...]$ per $[z->pi/2]$.
$[e^(jz)=e^(j(z-pi/2+pi/2))=je^(j(z-pi/2))=j[1+j(z-pi/2)+...]]$ per $[z->pi/2]$.
$[cosz=-sin(z-pi/2)=-(z-pi/2)+...]$ per $[z->pi/2]$.
$[e^(jz)=e^(j(z-pi/2+pi/2))=je^(j(z-pi/2))=j[1+j(z-pi/2)+...]]$ per $[z->pi/2]$.
Non ho capito molto bene. Sostituisco alle funzioni cosinusoidali ed esponenziali i rispettivi sviluppi in serie intorno a \(\pi/2\)? A che termine della serie devo fermarmi?
Bisognerebbe lavorarci un po'. In ogni modo, se non si vuole utilizzare quella formula, tanto vale sviluppare la funzione di partenza. Per caso, devi calcolare il residuo in $[z=pi/2]$ della funzione $[f(z)=cosz/(2(z-pi/2)(e^(jz)-j)^2)]$?
Sì, esatto. \(\pi/2\) è un polo di ordine 2 per \(f(z)\), ecco il perché della derivata e del fattore \((z-\frac{\pi}{2})\) che rimane al numeratore.
Fossi in te, insisterei con quella formula. Se derivi questa forma:
$[((z-pi/2)cosz)/(2(e^(jz)-j)^2)=((z-pi/2)sin(z-pi/2))/(2[e^(j(z-pi/2))-1]^2)]$
e fai lo sviluppo per calcolare il limite, dovresti avere meno problemi.
$[((z-pi/2)cosz)/(2(e^(jz)-j)^2)=((z-pi/2)sin(z-pi/2))/(2[e^(j(z-pi/2))-1]^2)]$
e fai lo sviluppo per calcolare il limite, dovresti avere meno problemi.
Grazie del tempo che mi stai dedicando, inanzitutto. Non capisco una cosa. Nel sostituire le funzioni con i rispettivi sviluppi in serie, a che termine della serie mi fermo? E' casuale/ininfluente, o c'è una regola particolare?
Derivando si ottiene:
$[([sin(z-pi/2)+(z-pi/2)cos(z-pi/2)][e^(j(z-pi/2))-1]-2j(z-pi/2)sin(z-pi/2)e^(j(z-pi/2)))/(2[e^(j(z-pi/2))-1]^3)]$
Ti ho consigliato di insistere perchè, nel calcolarne il limite, è più semplice comprenderne lo sviluppo. Infatti:
$([2(z-pi/2)+...][j(z-pi/2)-1/2(z-pi/2)^2+...]-2j(z-pi/2)^2[1+j(z-pi/2)+...])/(-2j(z-pi/2)^3+...)=$
$=((z-pi/2)^3+...)/(-2j(z-pi/2)^3+...)=1/(-2j)=j/2$
Ovviamente, devi avere una certa dimestichezza con questo modo di procedere. Si tratta di calcolare l'ordine d'infinitesimo del numeratore e del denominatore. Mentre per il denominatore è piuttosto semplice, di fatto è un prodotto, per il numeratore, che di fatto è una somma, è più laborioso a causa delle possibili cancellazioni.
$[([sin(z-pi/2)+(z-pi/2)cos(z-pi/2)][e^(j(z-pi/2))-1]-2j(z-pi/2)sin(z-pi/2)e^(j(z-pi/2)))/(2[e^(j(z-pi/2))-1]^3)]$
Ti ho consigliato di insistere perchè, nel calcolarne il limite, è più semplice comprenderne lo sviluppo. Infatti:
$([2(z-pi/2)+...][j(z-pi/2)-1/2(z-pi/2)^2+...]-2j(z-pi/2)^2[1+j(z-pi/2)+...])/(-2j(z-pi/2)^3+...)=$
$=((z-pi/2)^3+...)/(-2j(z-pi/2)^3+...)=1/(-2j)=j/2$
Ovviamente, devi avere una certa dimestichezza con questo modo di procedere. Si tratta di calcolare l'ordine d'infinitesimo del numeratore e del denominatore. Mentre per il denominatore è piuttosto semplice, di fatto è un prodotto, per il numeratore, che di fatto è una somma, è più laborioso a causa delle possibili cancellazioni.
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