Residuo all'infinito di una funzione
Salve ragazzi, dovrei calcolare il residuo all'infinito di:
$f(z)=(e^z-1)/(z^2-z)^2$
Dalle formule studiate dovrei calcolare il residuo in 0 di $g(w)/w^2$
dove $g(w)=f(1/w)$
Poichè in questo caso 0 è una singolarità essenziale per calcolare il residuo all'infinito devo ricorrere per forza alla sviluppo in serie di Laurent?
Il risultato dell'esercizio è :
$e-3$
$f(z)=(e^z-1)/(z^2-z)^2$
Dalle formule studiate dovrei calcolare il residuo in 0 di $g(w)/w^2$
dove $g(w)=f(1/w)$
Poichè in questo caso 0 è una singolarità essenziale per calcolare il residuo all'infinito devo ricorrere per forza alla sviluppo in serie di Laurent?
Il risultato dell'esercizio è :
$e-3$
Risposte
Beh, dato che il Terzo Teorema dei Residui ti assicura che se $f$ è olomorfa in $\CC$ a meno che in un numero finito di punti allora hai:
\[
\operatorname{Res}(f;\infty) = -\sum_{z_k \text{ singolarità al finito}} \operatorname{Res}(f;z_k)\; ,
\]
puoi anche fare a meno dello sviluppo di Laurent e concentrarti solo sulle singolarità al finito.
Tuttavia, non mi pare che trovare lo sviluppo di Laurent della funzione ausiliaria centrato in $0$ sia proibitivo... Prova un po'.
\[
\operatorname{Res}(f;\infty) = -\sum_{z_k \text{ singolarità al finito}} \operatorname{Res}(f;z_k)\; ,
\]
puoi anche fare a meno dello sviluppo di Laurent e concentrarti solo sulle singolarità al finito.
Tuttavia, non mi pare che trovare lo sviluppo di Laurent della funzione ausiliaria centrato in $0$ sia proibitivo... Prova un po'.
Quindi dovrei trovare il residuo della funzione nel punto 1 e cambiare di segno?
$Re (fz,infty)= -Re(fz,1)$
Il residuo di fz in 1 è: $2-e$
quindi il residuo all'infinito dovrebbe essere : $e-2$
Il risultato dovrebbe essere $e-3$...ho sbagliato qualcosa o è possibile ci sia un errore nel risultato?
$Re (fz,infty)= -Re(fz,1)$
Il residuo di fz in 1 è: $2-e$
quindi il residuo all'infinito dovrebbe essere : $e-2$
Il risultato dovrebbe essere $e-3$...ho sbagliato qualcosa o è possibile ci sia un errore nel risultato?
C'è anche un'altra singolarità al finito...
Le singolarità isolate non solo solo 2? il valore 0 che è una singolarità essenziale visto il numeratore,e il valore 1 che è un polo...help me
mica è $2pi i$
Guarda che intendevo le singolarità al finito della $f(z)$, non quelle di $g(w)$...
La $f(z):=(e^z -1)/((z^2 - z)^2)$ ha due singolarità al finito: una nello $0$ e l'altra in $1$, le quali sono due poli, rispettivamente, del primo e del secondo ordine.
Perciò:
\[
\operatorname{Res}(f;\infty) = -\operatorname{Res}(f;0) - \operatorname{Res}(f;1)\; .
\]
La $f(z):=(e^z -1)/((z^2 - z)^2)$ ha due singolarità al finito: una nello $0$ e l'altra in $1$, le quali sono due poli, rispettivamente, del primo e del secondo ordine.
Perciò:
\[
\operatorname{Res}(f;\infty) = -\operatorname{Res}(f;0) - \operatorname{Res}(f;1)\; .
\]
il mio errore stava nel fatto che consideravo lo 0 una singolarità essenziale e non un polo...cmq grazie per la disponibilità
"sscnapoli5":
il mio errore stava nel fatto che consideravo lo 0 una singolarità essenziale e non un polo...
Un errore non da poco.
Infatti, dato che le uniche singolarità al finito di una funzione che si esprime come rapporto tra funzioni intere (con la seconda non identicamente nulla!) vengono dagli zeri del denominatore non compensati nell'ordine da corrispondenti zeri del numeratore, tali singolarità sono tutte isolate e polari.
Morale della favola: la funzione assegnata non avrebbe mai potuto avere una singolarità essenziale al finito.
Le funzioni del tipo che ho detto sopra (cioè rapporto di funzioni intere) hanno sempre un'unica probabile singolarità essenziale, cioè $\infty$.
In particolare, $\infty$ è una singolarità isolata (e quindi classificabile) quando la funzione non ha poli che si accumulano attorno a $\infty$ e ciò nei casi di ordinaria amministrazione capita (al netto di semplificazioni) solo quando al denominatore hai un polinomio.
In tal caso, $\infty$ è una singolarità eliminabile o polare solo se al numeratore hai ancora un polinomio (e la singolarità è eliminabile solo se il grado del numeratore è $\le$ di quello del denominatore; altrimenti un polo); mentre è una singolarità essenziale solo se al numeratore hai una trascendente intera.
Nell'esercizio in esame, dato che la funzione $f$ è un rapporto di una trascendente intera ($e^z-1$) e di un polinomio ($(z^2-z)^2$), hai al più solo poli al finito, negli zeri del denominatore, e sicuramente una singolarità essenziale in $\infty$.
P.S.: Chi sta tenendo il corso di Metodi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo