Residui [Integrale]
Salve a tutti vorrei un chiarimento su questo esercizio!Dovrei calcolare questo integrale:
$int_(+\partial \Omega) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2) dz$ dove $\Omega={z in C: |z|<3/2}$
La funzione al denominatore $g(z)=z-2$ ha uno zero semplice in $z=2$ che è un polo semplice per la funzione integrando ma essendo $|2|>|3/2|$ non viene preso in considerazione per calcolarne il rispettivo residuo.Considero quindi il punto $z=0$ che è interno al cerchio di centro $0$ e di raggio $3/2$.
Ora per calcolare il rispettivo residuo devo utilizzare lo sviluppo di Laurent?
Grazie in anticipo!
$int_(+\partial \Omega) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2) dz$ dove $\Omega={z in C: |z|<3/2}$
La funzione al denominatore $g(z)=z-2$ ha uno zero semplice in $z=2$ che è un polo semplice per la funzione integrando ma essendo $|2|>|3/2|$ non viene preso in considerazione per calcolarne il rispettivo residuo.Considero quindi il punto $z=0$ che è interno al cerchio di centro $0$ e di raggio $3/2$.
Ora per calcolare il rispettivo residuo devo utilizzare lo sviluppo di Laurent?
Grazie in anticipo!
Risposte
Per risolverlo devi trovare sia il residuo in 0 che quello in 1 (entrambi interni alla curva). La somma di questi due la puoi trovare come l'opposto della somma dei residui a 2 e ad infinito (perchè la somma di tutti i residui al finito e all'infinito deve essere nulla).
"lilfo":
Per risolverlo devi trovare sia il residuo in 0 che quello in 1 (entrambi interni alla curva). La somma di questi due la puoi trovare come l'opposto della somma dei residui a 2 e ad infinito (perchè la somma di tutti i residui al finito e all'infinito deve essere nulla).
Avevo pensato anche io ad applicare il II Teorema dei residui e forse credo che sia la strada più semplice.
Però io sapevo che si poteva calcolare anche il residuo della singolarità essenziale considerando lo sviluppo in serie di Laurent.A questa conclusione ci sono arrivato tramite la teoria.Ad ogni modo conviene applicare il II Teorema.
Ho rifatto l'esercizio.Ti riporto lo svolgimento:
La funzione al numeratore è definita per $z in C$ tale che $z(z-1)!=0$.Ricordando lo sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione esponenziale possiamo scrivere quello di Laurent:
$e^(2/z+1/(z-1))=e^((3z-2)/(z(z-1)))=\sum_(n=0)^(+infty) (3z-2)^n/(n!)*1/(z^n)*1/(z-1)^n$ e da ciò segue che i punti $z=0$ e $z=1$ sono punti di singolarità essenziale poichè lo sviluppo contiene infiniti termini ad esponente negativo.
La funzione al denominatore invece ha uno zero semplice nel punto $z=2$ che è un polo del I ordine per la funzione integrando.
Ora i punti di singolarità che sono interni al dominio $\Omega$ sono soltanto $z=0$ e $z=1$.
Dunque:
$int_(+\partial \Omega) f(z) dz=2pij(R_(f) [0]+R_(f) [1])$
I residui $R_(f) [0]$ e $R_(f) [1]$ si calcolano applicando il II teorema dei residui (o come è scritto in altri testi "corollario del Teorema dei Residui):
$R_(f) [0]+R_(f) [1]+R_(f) [2]+R_(f) [infty]=0$
allora
$R_(f) [0]+R_(f) [1]=-R_(f) [2]-R_(f) [infty]$
dove:
$R_(f) [2]=e^(2)$ e $R_(f) [infty]=lim_(z\to\infty) z[f(infty)-f(z)]=-lim_(z\to\infty) z*f(z)=-1$.
In definitiva:
$int_(+\partial \Omega) f(z) dz=2pij(1-e^2)$.
La funzione al numeratore è definita per $z in C$ tale che $z(z-1)!=0$.Ricordando lo sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione esponenziale possiamo scrivere quello di Laurent:
$e^(2/z+1/(z-1))=e^((3z-2)/(z(z-1)))=\sum_(n=0)^(+infty) (3z-2)^n/(n!)*1/(z^n)*1/(z-1)^n$ e da ciò segue che i punti $z=0$ e $z=1$ sono punti di singolarità essenziale poichè lo sviluppo contiene infiniti termini ad esponente negativo.
La funzione al denominatore invece ha uno zero semplice nel punto $z=2$ che è un polo del I ordine per la funzione integrando.
Ora i punti di singolarità che sono interni al dominio $\Omega$ sono soltanto $z=0$ e $z=1$.
Dunque:
$int_(+\partial \Omega) f(z) dz=2pij(R_(f) [0]+R_(f) [1])$
I residui $R_(f) [0]$ e $R_(f) [1]$ si calcolano applicando il II teorema dei residui (o come è scritto in altri testi "corollario del Teorema dei Residui):
$R_(f) [0]+R_(f) [1]+R_(f) [2]+R_(f) [infty]=0$
allora
$R_(f) [0]+R_(f) [1]=-R_(f) [2]-R_(f) [infty]$
dove:
$R_(f) [2]=e^(2)$ e $R_(f) [infty]=lim_(z\to\infty) z[f(infty)-f(z)]=-lim_(z\to\infty) z*f(z)=-1$.
In definitiva:
$int_(+\partial \Omega) f(z) dz=2pij(1-e^2)$.
Per il calcolo dei residui, va bene utilizzare il secondo teorema dei residui, ossia l'uguaglianza [tex]$\text{Res} (f;z_2)+\text{Res} (f;z_3)=-\text{Res} (f;z_1)-\text{Res} (f;\infty)$[/tex] ed i residui sembrano essere calcolati in maniera corretta.
Tuttavia, sulla classificazione delle singolarità non ci sei: infatti quello che hai scritto non è uno sviluppo in serie di Laurent, quindi (pur arrivando alla soluzione giusta) sei fuori strada.
La classificazione si fa così, ad esempio.
La tua funzione può essere scritta:
[tex]$f(z)=\underbrace{\tfrac{1}{z-2}}_{f_1(z)}\ \underbrace{e^{\frac{2}{z}}}_{f_2(z)}\ \underbrace{e^{\frac{1}{z-1}}}_{f_3(z)}$[/tex].
Studiando a parte i tre fattori che figurano a secondo membro si trova che:
- [tex]$f_1(z)$[/tex] è olomorfa in [tex]$\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{ 2\}$[/tex] ed il punto [tex]$z_1=2$[/tex] è un polo del primo ordine;
- [tex]$f_2(z)$[/tex] è olomorfa in [tex]$\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{ 0\}$[/tex] ed il punto [tex]$z_2=0$[/tex] è una singolarità essenziale;
- [tex]$f_3(z)$[/tex] è olomorfa in [tex]$\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{ 1\}$[/tex] ed il punto [tex]$z_3=1$[/tex] è una singolarità essenziale
(qui [tex]$\widehat{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \{ \infty\}$[/tex]).
Ora:
1. dato che [tex]$\phi(z):=f_2(z) f_3(z)$[/tex] è olomorfa e non nulla in [tex]$z_1$[/tex], si vede che [tex]$z_1$[/tex] è un polo del primo ordine pure per [tex]$f(z)=f_1(z)\ \phi(z)$[/tex];
2. d'altra parte, visto che la funzione [tex]$\psi (z):=f_1(z)f_3(z)$[/tex] è olomorfa in [tex]$z_2$[/tex], il punto [tex]$z_2$[/tex] è una singolarità essenziale per [tex]$f(z)=\psi (z) f_2(z)$[/tex];
3. analogamente si stabilisce che [tex]$z_3$[/tex] è una singolarità essenziale per [tex]$f(z)$[/tex].
Tuttavia, sulla classificazione delle singolarità non ci sei: infatti quello che hai scritto non è uno sviluppo in serie di Laurent, quindi (pur arrivando alla soluzione giusta) sei fuori strada.
La classificazione si fa così, ad esempio.
La tua funzione può essere scritta:
[tex]$f(z)=\underbrace{\tfrac{1}{z-2}}_{f_1(z)}\ \underbrace{e^{\frac{2}{z}}}_{f_2(z)}\ \underbrace{e^{\frac{1}{z-1}}}_{f_3(z)}$[/tex].
Studiando a parte i tre fattori che figurano a secondo membro si trova che:
- [tex]$f_1(z)$[/tex] è olomorfa in [tex]$\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{ 2\}$[/tex] ed il punto [tex]$z_1=2$[/tex] è un polo del primo ordine;
- [tex]$f_2(z)$[/tex] è olomorfa in [tex]$\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{ 0\}$[/tex] ed il punto [tex]$z_2=0$[/tex] è una singolarità essenziale;
- [tex]$f_3(z)$[/tex] è olomorfa in [tex]$\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{ 1\}$[/tex] ed il punto [tex]$z_3=1$[/tex] è una singolarità essenziale
(qui [tex]$\widehat{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \{ \infty\}$[/tex]).
Ora:
1. dato che [tex]$\phi(z):=f_2(z) f_3(z)$[/tex] è olomorfa e non nulla in [tex]$z_1$[/tex], si vede che [tex]$z_1$[/tex] è un polo del primo ordine pure per [tex]$f(z)=f_1(z)\ \phi(z)$[/tex];
2. d'altra parte, visto che la funzione [tex]$\psi (z):=f_1(z)f_3(z)$[/tex] è olomorfa in [tex]$z_2$[/tex], il punto [tex]$z_2$[/tex] è una singolarità essenziale per [tex]$f(z)=\psi (z) f_2(z)$[/tex];
3. analogamente si stabilisce che [tex]$z_3$[/tex] è una singolarità essenziale per [tex]$f(z)$[/tex].
Ti ringrazio per la risposta e per l'aiuto!
In realtà prima di azzardarmi a dimostrare attraverso lo sviluppo di Laurent che i punti $z_2$ e $z_3$ sono delle singolarità essenziali avevo verificato in questo modo ossia avvalendomi direttamente delle definizioni teoriche (però non so fino a che punto sia corretto):
Le singolarità $z_2$ e $z_3$ sono poli se esiste un numero naturale $n>0$ tale che esistono i limiti:
$lim_(z\to\0) z^(n)*e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=0$
$lim_(z\to\1) (z-1)^(n)*e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=0$
dove $n$ è l'ordine del polo.
Dato che $l_(2)=0$ e $l_(3)=0$ i punti $z_2$ e $z_3$ non sono poli in quanto $l_(2)$ e $l_(3)$ dovrebbero essere $!=0$.
Le singolarità $z_2$ e $z_3$ sono eliminabili se esistono i limiti:
$lim_(z\to\0) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=-infty$
$lim_(z\to\1) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=-infty$
Dato che $l_(2)=l_(3)=-infty$ allora i punti $z_2$ e $z_3$ non sono singolarità eliminabili.
Pertanto non rientrando in questi due casi i punti $z_2$ e $z_3$ sono punti di singolarità essenziale.
In realtà prima di azzardarmi a dimostrare attraverso lo sviluppo di Laurent che i punti $z_2$ e $z_3$ sono delle singolarità essenziali avevo verificato in questo modo ossia avvalendomi direttamente delle definizioni teoriche (però non so fino a che punto sia corretto):
Le singolarità $z_2$ e $z_3$ sono poli se esiste un numero naturale $n>0$ tale che esistono i limiti:
$lim_(z\to\0) z^(n)*e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=0$
$lim_(z\to\1) (z-1)^(n)*e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=0$
dove $n$ è l'ordine del polo.
Dato che $l_(2)=0$ e $l_(3)=0$ i punti $z_2$ e $z_3$ non sono poli in quanto $l_(2)$ e $l_(3)$ dovrebbero essere $!=0$.
Le singolarità $z_2$ e $z_3$ sono eliminabili se esistono i limiti:
$lim_(z\to\0) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=-infty$
$lim_(z\to\1) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=-infty$
Dato che $l_(2)=l_(3)=-infty$ allora i punti $z_2$ e $z_3$ non sono singolarità eliminabili.
Pertanto non rientrando in questi due casi i punti $z_2$ e $z_3$ sono punti di singolarità essenziale.
Hai ancora un po' di confusione...
Una singolarità isolata [tex]$z_0$[/tex] per la funzione [tex]$f(z)$[/tex] olomorfa intorno a [tex]$z_0$[/tex] è:
- una singolarità eliminabile se:
[tex]$\lim_{z\to z_0} f(z)\quad \text{esiste finito}$[/tex];
- un polo d'ordine [tex]$N\geq 1$[/tex] se il limite:
[tex]$\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty \ \text{e}\ \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^N f(z) \quad \text{esiste finito e $\neq 0$}$[/tex];
- una singolarità essenziale se il:
[tex]$\lim_{z\to z_0} f(z)\quad \text{non esiste}$[/tex].
Ora, nel tuo caso, si vede subito con la definizione che [tex]$z_1=2$[/tex] è un polo del primo ordine.
D'altra parte, consideriamo il limite in [tex]$z_2=0$[/tex]:
(*) [tex]$\lim_{z\to 0} \tfrac{1}{z-2}\ e^{\frac{2}{z}}\ e^{\frac{1}{z-1}}$[/tex];
evidentemente i fattori [tex]$\tfrac{1}{z-2}$[/tex] ed [tex]$e^{\frac{1}{z-1}}$[/tex] non danno problemi in [tex]$0$[/tex] (perchè sono continui ed hanno limiti [tex]$-\tfrac{1}{2},\ e^{-1}\neq 0$[/tex]) ma il fattore intermedio [tex]$e^{\frac{2}{z}}$[/tex] non ha limite in [tex]$0$[/tex], giacché prendendo [tex]$z=\zeta_n=\tfrac{1}{\jmath \pi n}$[/tex] (di modo che [tex]$\zeta_n\to 0$[/tex]) si trova:
[tex]$e^{\frac{2}{\zeta_n}}=e^{\jmath 2\pi n}=\cos 2n\pi +\jmath \sin 2n\pi=1$[/tex],
ed analogamente se si prende [tex]$z=\omega_n=\frac{2}{n}$[/tex] (di modo che [tex]$\omega_n\to 0$[/tex]) si trova:
[tex]$e^{\frac{2}{\omega_n}}=e^n$[/tex],
perciò il limite per [tex]$z\to 0$[/tex] di [tex]$e^{\frac{2}{z}}$[/tex] non può esistere (verrebbe violato il teorema ponte, che vale anche nel campo complesso); conseguentemente il limite (*) non esiste ed il punto [tex]$0$[/tex] è di singolarità essenziale per [tex]$f(z)$[/tex].
Lo stesso si può dire per [tex]$z_3=1$[/tex], basta fare un po' di conticini.
Una singolarità isolata [tex]$z_0$[/tex] per la funzione [tex]$f(z)$[/tex] olomorfa intorno a [tex]$z_0$[/tex] è:
- una singolarità eliminabile se:
[tex]$\lim_{z\to z_0} f(z)\quad \text{esiste finito}$[/tex];
- un polo d'ordine [tex]$N\geq 1$[/tex] se il limite:
[tex]$\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty \ \text{e}\ \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^N f(z) \quad \text{esiste finito e $\neq 0$}$[/tex];
- una singolarità essenziale se il:
[tex]$\lim_{z\to z_0} f(z)\quad \text{non esiste}$[/tex].
Ora, nel tuo caso, si vede subito con la definizione che [tex]$z_1=2$[/tex] è un polo del primo ordine.
D'altra parte, consideriamo il limite in [tex]$z_2=0$[/tex]:
(*) [tex]$\lim_{z\to 0} \tfrac{1}{z-2}\ e^{\frac{2}{z}}\ e^{\frac{1}{z-1}}$[/tex];
evidentemente i fattori [tex]$\tfrac{1}{z-2}$[/tex] ed [tex]$e^{\frac{1}{z-1}}$[/tex] non danno problemi in [tex]$0$[/tex] (perchè sono continui ed hanno limiti [tex]$-\tfrac{1}{2},\ e^{-1}\neq 0$[/tex]) ma il fattore intermedio [tex]$e^{\frac{2}{z}}$[/tex] non ha limite in [tex]$0$[/tex], giacché prendendo [tex]$z=\zeta_n=\tfrac{1}{\jmath \pi n}$[/tex] (di modo che [tex]$\zeta_n\to 0$[/tex]) si trova:
[tex]$e^{\frac{2}{\zeta_n}}=e^{\jmath 2\pi n}=\cos 2n\pi +\jmath \sin 2n\pi=1$[/tex],
ed analogamente se si prende [tex]$z=\omega_n=\frac{2}{n}$[/tex] (di modo che [tex]$\omega_n\to 0$[/tex]) si trova:
[tex]$e^{\frac{2}{\omega_n}}=e^n$[/tex],
perciò il limite per [tex]$z\to 0$[/tex] di [tex]$e^{\frac{2}{z}}$[/tex] non può esistere (verrebbe violato il teorema ponte, che vale anche nel campo complesso); conseguentemente il limite (*) non esiste ed il punto [tex]$0$[/tex] è di singolarità essenziale per [tex]$f(z)$[/tex].
Lo stesso si può dire per [tex]$z_3=1$[/tex], basta fare un po' di conticini.
Ti ringrazio per la spiegazione 
Comunque oggi sono stato a ricevimento dal mio Professore e gli ho mostrato quello che ho scritto in questo post.
Lui mi ha risposto che innanzitutto "ad occhio" era facile riconoscere che la funzione al numeratore avesse delle singolarità essenziali perchè è una funzione esponenziale elevata ad una funzione razionale ossia del tipo $e^(f(z)/g(z))$.Tuttavia gli ho chiesto come si procede per capire se il punto di singolarità in questione è una singolarità essenziale e lui mi ha detto che è lecito fare $lim_(z\to\0) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=e^(2/0-1)/(z-2)$ però nel momento in cui viene fuori questa forma $2/0$ il limite non esiste e quindi devo fermarmi perchè da come ho capito nel piano complesso si aggiunge un unico punto all'infinito (indicato con "$infty$")al contrario dell'insieme dei numeri reali in cui si aggiungono i due punti $-infty$ e $+infty$ (concetto di retta reale estesa $R^(*)$).
Comunque oggi sono stato a ricevimento dal mio Professore e gli ho mostrato quello che ho scritto in questo post.
Lui mi ha risposto che innanzitutto "ad occhio" era facile riconoscere che la funzione al numeratore avesse delle singolarità essenziali perchè è una funzione esponenziale elevata ad una funzione razionale ossia del tipo $e^(f(z)/g(z))$.Tuttavia gli ho chiesto come si procede per capire se il punto di singolarità in questione è una singolarità essenziale e lui mi ha detto che è lecito fare $lim_(z\to\0) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=e^(2/0-1)/(z-2)$ però nel momento in cui viene fuori questa forma $2/0$ il limite non esiste e quindi devo fermarmi perchè da come ho capito nel piano complesso si aggiunge un unico punto all'infinito (indicato con "$infty$")al contrario dell'insieme dei numeri reali in cui si aggiungono i due punti $-infty$ e $+infty$ (concetto di retta reale estesa $R^(*)$).
"folgore":
Ti ringrazio per la spiegazione
Prego, figurati.
"folgore":
Comunque oggi sono stato a ricevimento dal mio Professore e gli ho mostrato quello che ho scritto in questo post.
Lui mi ha risposto che innanzitutto "ad occhio" era facile riconoscere che la funzione al numeratore avesse delle singolarità essenziali perchè è una funzione esponenziale elevata ad una funzione razionale ossia del tipo $e^(f(z)/g(z))$.Tuttavia gli ho chiesto come si procede per capire se il punto di singolarità in questione è una singolarità essenziale e lui mi ha detto che è lecito fare $lim_(z\to\0) e^(2/z+1/(z-1))/(z-2)=e^(2/0-1)/(z-2)$ però nel momento in cui viene fuori questa forma $2/0$ il limite non esiste e quindi devo fermarmi perchè da come ho capito nel piano complesso si aggiunge un unico punto all'infinito (indicato con "$infty$")al contrario dell'insieme dei numeri reali in cui si aggiungono i due punti $-infty$ e $+infty$ (concetto di retta reale estesa $R^(*)$).
Beh sì, l'idea è più o meno quella...
Tutto dipende dal fatto che [tex]$e^z$[/tex] ha una singolarità essenziale in [tex]$\infty$[/tex] e che [tex]$\lim_{z\to 0} \tfrac{2}{z}=\infty$[/tex].
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