Residui e sviluppi di Laurent

[lukath]

Ciao a tutti!

Avrei bisogno di una mano per questo esercizio... mi si chiede di trovare la parte singolare (i termini a indice negativo) dello sviluppo di Laurent di questa funzione

$ f(z) = (pi)/((z^2 - 1)*sin(pi*z))$ nell'insieme $A={z \in CC : 0 < |z-1| < 1}$.

Ora l'unica singolarità isolata di $f$ racchiusa dall'anello $A$ si ha in $z_0=1$ e in questo punto, se non sbaglio, la funzione ha un polo di ordine $2$ poiché:

$\lim_{z \to \1}(z-1)^2*f(z) = -1/2$.

A questo punto avevo pensato di calcolarmi il residuo in $z_0$ con la formula

$Res_(z=1) f(z) = \lim_{z \to \1} d^2/dz ((z-1)^2*f(z))$ ma il limite mi viene $\infty$. E' sbagliato il ragionamento precedente o è sbagliato il calcolo del limite? Inoltre, visto che il polo è di ordine $2$, avrei solo un altro termine non nullo a indice negativo, come lo calcolo? Grazie a tutti!

[Quinzio]

$(z-1)^2$
oppure
$(z^2-1)$
?

Poi anche $1/(sin(\pi z))$ è una singolarita'.

[lukath]

Nel denominatore della funzione compare $z^2 - 1$, mentre nella formula del calcolo del residuo bisogna moltiplicare per $(z-1)^2$ se non ho capito male, dato che $z=1$ è un polo di ordine $2$. Inoltre $z=1$ è l'unica singolarità che si trova nell'interno della corona circolare data, tutte le altre singolarità di $1/sin(piz)$ sono all'esterno, così come quella di $1/(z+1)$...