Residui e decomposizione in fratti semplici
salve, sto perdendo la testa con un esercizio, apparentemente banale, che consiste nello scomporre in fratti semplici, mediante il calcolo dei residui, la funzione:
$f(z) = \frac{1}{z^{2}(z^{2}-1)}$
con il metodo dei coefficienti indeterminati giungo alla seguente scomposizione:
$\frac{1}{2(z-1)} - \frac{1}{2(z+1)} - \frac{1}{z^{2}}$
ovvero il coefficiente di $\frac{1}{z}$ è 0
ebbene, mediante il calcolo dei residui, non riesco a pervenire allo stesso risultato, perchè il residuo nel polo doppio z=0 mi viene sempre zero.
per chiarezza posto il calcolo che eseguo:
$R[0]= \lim_{z\to 0} \frac{d}{dz} ( z^{2} \frac{1}{z^{2}(z^{2}-1)} ) = \lim_{z\to 0}\frac{d}{dz} ( \frac{1}{(z^{2}-1)} ) = \lim_{z\to0} \frac{-2z}{(z^2 -1)^2} =0$
come si può notare, se non derivassi giungerei alla scomposizione scritta precedentemente, ma il polo è doppio, mica posso non derivare?
potreste gentilmente indicarmi dove sbaglio?
grazie anticipatamente
$f(z) = \frac{1}{z^{2}(z^{2}-1)}$
con il metodo dei coefficienti indeterminati giungo alla seguente scomposizione:
$\frac{1}{2(z-1)} - \frac{1}{2(z+1)} - \frac{1}{z^{2}}$
ovvero il coefficiente di $\frac{1}{z}$ è 0
ebbene, mediante il calcolo dei residui, non riesco a pervenire allo stesso risultato, perchè il residuo nel polo doppio z=0 mi viene sempre zero.
per chiarezza posto il calcolo che eseguo:
$R[0]= \lim_{z\to 0} \frac{d}{dz} ( z^{2} \frac{1}{z^{2}(z^{2}-1)} ) = \lim_{z\to 0}\frac{d}{dz} ( \frac{1}{(z^{2}-1)} ) = \lim_{z\to0} \frac{-2z}{(z^2 -1)^2} =0$
come si può notare, se non derivassi giungerei alla scomposizione scritta precedentemente, ma il polo è doppio, mica posso non derivare?
potreste gentilmente indicarmi dove sbaglio?
grazie anticipatamente
Risposte
Quando hai un polo multiplo in [tex]$z_0$[/tex] d'ordine [tex]$M$[/tex], il coefficiente del termine [tex]$\frac{1}{(z-z_0)^m}$[/tex] con [tex]$m\in \{ 1,\ldots ,M\}$[/tex] nella decomposizione in fratti semplici della tua [tex]$f$[/tex] si calcola come [tex]$\text{Res}\left( (z-z_0)^{m-1} f(z); z_0\right)$[/tex].
Nel tuo caso il coefficiente di [tex]$\frac{1}{z^2}$[/tex] è [tex]$\text{Res}\left( z f(z);0\right)$[/tex], mentre il coefficiente di [tex]$\frac{1}{z}$[/tex] è il [tex]$\text{Res}\left( f(z);0\right)$[/tex]... Quindi quello zero ti esce come coefficiente giusto (cioè quello di [tex]$\frac{1}{z}$[/tex]), mentre mi sà che devi ricalcolare quello per [tex]$\frac{1}{z^2}$[/tex].
Nel tuo caso il coefficiente di [tex]$\frac{1}{z^2}$[/tex] è [tex]$\text{Res}\left( z f(z);0\right)$[/tex], mentre il coefficiente di [tex]$\frac{1}{z}$[/tex] è il [tex]$\text{Res}\left( f(z);0\right)$[/tex]... Quindi quello zero ti esce come coefficiente giusto (cioè quello di [tex]$\frac{1}{z}$[/tex]), mentre mi sà che devi ricalcolare quello per [tex]$\frac{1}{z^2}$[/tex].
dal punto di vista teorico come si giustifica la formula che hai usato per calcolare il residuo nel polo multiplo?
io il residuo in un polo di ordine N lo calcolavo come coefficiente $a_{-1}$ della serie di Taylor di $(z - z_0)^N \cdot f(z)$
ovvero:
(1) $a_{-1} = \frac{1}{(N - 1)!} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}} [(z - z_0)^N \cdot f(z)]_{z = z_0}$
quindi se, come nel caso di questo esercizio, avevo N=2 :
$a_{-1} = \frac{1}{(1)!} \frac{d}{dz} [(z - z_0)^2 \cdot f(z)]_{z = z_0}$
ad esempio, sul mio libro di testo c'è un esercizio svolto in cui per il fratto $\frac{1}{z^2 (1-z)}$ il residuo nel polo doppio z=0 viene calcolato con la (1).
perdona la mia insistenza, ma come mai questo metodo non è valido nel caso dell'esercizio che ho proposto?
io il residuo in un polo di ordine N lo calcolavo come coefficiente $a_{-1}$ della serie di Taylor di $(z - z_0)^N \cdot f(z)$
ovvero:
(1) $a_{-1} = \frac{1}{(N - 1)!} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}} [(z - z_0)^N \cdot f(z)]_{z = z_0}$
quindi se, come nel caso di questo esercizio, avevo N=2 :
$a_{-1} = \frac{1}{(1)!} \frac{d}{dz} [(z - z_0)^2 \cdot f(z)]_{z = z_0}$
ad esempio, sul mio libro di testo c'è un esercizio svolto in cui per il fratto $\frac{1}{z^2 (1-z)}$ il residuo nel polo doppio z=0 viene calcolato con la (1).
perdona la mia insistenza, ma come mai questo metodo non è valido nel caso dell'esercizio che ho proposto?
è semplice....
$f(z)=1/(z^2 (1-z))$ lo vuoi scrivere come $f(z)=A/z + B/z^2 + C/(z-1)$
per trovare $B$ basta considerare $z^2 f(z) |_{z=0} = z*A + B + z^2 * C / (z-1) |_{z=0} = B$
per trovare $C$ basta considerare $(z-1) f(z) |_{z=1} = (z-1)/z A + B (z-1)/z^2 + C |_{z=1}=C$
per trovare $A$ invece, bisogna considerare $d/dz (z^2 f(z))|_{z=0} = d/dz(z*A + B + z^2 * C / (z-1)) |_{z=0} = A+ (2zC(z-1) - C z^2)/(z-1)^2 |_{z=0} = A$
questa è una prova empirica del fatto che funzioni, ed è un modo (almeno per me) di ricordare la regola.
a me risulta $B=1$, $C=-1$ e $A=1$
$f(z)=1/(z^2 (1-z))$ lo vuoi scrivere come $f(z)=A/z + B/z^2 + C/(z-1)$
per trovare $B$ basta considerare $z^2 f(z) |_{z=0} = z*A + B + z^2 * C / (z-1) |_{z=0} = B$
per trovare $C$ basta considerare $(z-1) f(z) |_{z=1} = (z-1)/z A + B (z-1)/z^2 + C |_{z=1}=C$
per trovare $A$ invece, bisogna considerare $d/dz (z^2 f(z))|_{z=0} = d/dz(z*A + B + z^2 * C / (z-1)) |_{z=0} = A+ (2zC(z-1) - C z^2)/(z-1)^2 |_{z=0} = A$
questa è una prova empirica del fatto che funzioni, ed è un modo (almeno per me) di ricordare la regola.
a me risulta $B=1$, $C=-1$ e $A=1$
scusa ma tu come mai trovi A derivando e B senza derivare?
allora... quella è la regola per determinare il residuo della funzione rispetto al punto $z_0$, cioè il coefficiente $a_{-1}$ dello sviluppo di laurent di $f(z)$, se si tratta di un polo di ordine $M$ si ha che $a_{-1} = 1/((M-1)!) (d^{M-1}) / (dz^{M-1}) [ (z-z_0)^M f(z)] |_{z=z_0}$
L'applicazione alla decomposizione in fratti semplici è diversa... che è quanto ti ha illustrato gugo82 che dice:
- il coefficiente di $1/z^2$, che nella mia notazione è $B$, lo si trova come $res((z-0)^(2-1)f(z),0) = res(z f(z),0) = res(1/(z(1-z)),0)$, essendo $0$ un polo semplice per la funzione $1/(z(1-z))$ il residuo si calcola come $res(h(z),0) = (z h(z)) |_{z=0} = z (z f(z)) |_{z=0} = 1/(1-z) |_{z=0} = 1$
- il coefficiente di $1/z$, cioè $A$, invece $res((z-0)^{1-1}f(z),0) = res(f(z),0)$, essendo $0$ polo di ordine 2 per $f(z)$ si ha che $res(f(z),0) = d/(dz)[z^2 f(z)]_{z=0} = d/(dz)[1/(1-z)]_{z=0} = 1/(1-z)^2 |_{z=0} = 1$
Come puoi vedere alla fine, in un caso derivi, nell'altro no. Ciò che ti ho mostrato io è un modo più pratico per ricordarsi come ricavare i coefficienti dei vari termini della decomposizione.
L'applicazione alla decomposizione in fratti semplici è diversa... che è quanto ti ha illustrato gugo82 che dice:
- il coefficiente di $1/z^2$, che nella mia notazione è $B$, lo si trova come $res((z-0)^(2-1)f(z),0) = res(z f(z),0) = res(1/(z(1-z)),0)$, essendo $0$ un polo semplice per la funzione $1/(z(1-z))$ il residuo si calcola come $res(h(z),0) = (z h(z)) |_{z=0} = z (z f(z)) |_{z=0} = 1/(1-z) |_{z=0} = 1$
- il coefficiente di $1/z$, cioè $A$, invece $res((z-0)^{1-1}f(z),0) = res(f(z),0)$, essendo $0$ polo di ordine 2 per $f(z)$ si ha che $res(f(z),0) = d/(dz)[z^2 f(z)]_{z=0} = d/(dz)[1/(1-z)]_{z=0} = 1/(1-z)^2 |_{z=0} = 1$
Come puoi vedere alla fine, in un caso derivi, nell'altro no. Ciò che ti ho mostrato io è un modo più pratico per ricordarsi come ricavare i coefficienti dei vari termini della decomposizione.
ho capito, grazie mille!
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