Requisiti Taylor
Ciao, amici!
Il mio testo di analisi (1) dimostra che, se $f$ è derivabile n volte in $x_0$, il polinomio di Taylor di grado al massimo n $T_n(x)$ è l'unico polinomio di grado al più n che verifica
$lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0$.
Per calcolare il coefficiente $a_n$ del polinomio di Taylor $\sum_(k=0)^n a_k(x-x_0)^k$ il mio libro pone, utilizzando la regola di l'Hôpital
$lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0 = lim_(x->x_0) (d^n/(dx^n)(f(x)-(a_n(x-x_0)^n+T_(n-1))))/(d^n/(dx^n)(x-x_0)^n)$
Essendo $d^n/(dx^n) (a_n(x-x_0)^n) = n!a_n$ e $d^n/(dx^n)(x-x_0)^n=n!$ mi è chiaro che
$lim_(x->x_0) (d^n/(dx^n) f(x) - n!a_n)/(n!) = 0 <=> a_n=(lim_(x->x_0)d^n/(dx^n)f(x))/(n!)$
ma il mio libro scrive direttamente $ a_n=(f^((n))(x_0))/(n!)$
Direi che quindi $lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0$ vale solo nel caso di derivata $f^((n))$ continua in $x_0$, cioè se e solo se $lim_(x->x_0) f^((n))(x)=f^((n))(x_0)$, giusto?
Grazie di cuore a tutti!!!
Il mio testo di analisi (1) dimostra che, se $f$ è derivabile n volte in $x_0$, il polinomio di Taylor di grado al massimo n $T_n(x)$ è l'unico polinomio di grado al più n che verifica
$lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0$.
Per calcolare il coefficiente $a_n$ del polinomio di Taylor $\sum_(k=0)^n a_k(x-x_0)^k$ il mio libro pone, utilizzando la regola di l'Hôpital
$lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0 = lim_(x->x_0) (d^n/(dx^n)(f(x)-(a_n(x-x_0)^n+T_(n-1))))/(d^n/(dx^n)(x-x_0)^n)$
Essendo $d^n/(dx^n) (a_n(x-x_0)^n) = n!a_n$ e $d^n/(dx^n)(x-x_0)^n=n!$ mi è chiaro che
$lim_(x->x_0) (d^n/(dx^n) f(x) - n!a_n)/(n!) = 0 <=> a_n=(lim_(x->x_0)d^n/(dx^n)f(x))/(n!)$
ma il mio libro scrive direttamente $ a_n=(f^((n))(x_0))/(n!)$
Direi che quindi $lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0$ vale solo nel caso di derivata $f^((n))$ continua in $x_0$, cioè se e solo se $lim_(x->x_0) f^((n))(x)=f^((n))(x_0)$, giusto?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Infatti devi applicare l'Hopital solo $n-1$ volte, e non $n$.
Dopo $n-1$ derivazioni, tenendo conto del fatto che $T_n^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x_0) + f^{(n)}(x_0) (x-x_0)$, ottieni il limite
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n)}(x) - f^{(n-1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0) (x-x_0)}{(n-1)! (x-x_0)} =
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{(n-1)!} \left[\frac{f^{(n)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} - f^{(n)}(x_0)\right] = 0.
\]
Come vedi basta che $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ (senza necessità che la derivata sia continua).
Dopo $n-1$ derivazioni, tenendo conto del fatto che $T_n^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x_0) + f^{(n)}(x_0) (x-x_0)$, ottieni il limite
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n)}(x) - f^{(n-1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0) (x-x_0)}{(n-1)! (x-x_0)} =
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{(n-1)!} \left[\frac{f^{(n)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} - f^{(n)}(x_0)\right] = 0.
\]
Come vedi basta che $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ (senza necessità che la derivata sia continua).
$\sum_(k=0)^oo "grazie!"$ Rigel! 
Finalmente tutto chiaro! Ti sono veramente grato dell'aiuto!
Utilizzando le $a_k$ che avevo utilizzato io, si ha quindi che
$lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0 = lim_(x->x_0) (d^(n-1)/(dx^(n-1))(f(x)-(a_n(x-x_0)^n+T_(n-1))))/(d^(n-1)/(dx^(n-1))(x-x_0)^n)$
$= lim_(x->x_0) (f^((n-1))(x) - (n!a_n(x-x_0)+(n-1)!a_(n-1)))/(n!(x-x_0)) = 0$
$<=>a_n=1/(n!) lim_(x->x_0) (f^((n-1))(x)-(n-1)!a_(n-1))/(x-x_0)$
Sapendo che almeno fino a $f^((n-1))$ la derivata è a sua volta derivabile e quindi continua e perciò si può calcolare $a_(n-1)$ come avevo calcolato $a_n$ supponendo che $f^((n))(x)$ fosse continua
$a_(n-1)= lim_(x->x_0) (f^((n-1))(x))/((n-1)!)=(f^((n-1))(x_0))/((n-1)!)$
quindi $a_n=1/(n!) lim_(x->x_0) (f^((n-1))(x)-f^((n-1))(x_0))/(x-x_0) = (f^((n))(x_0))/(n!)$
Grazie ancora!!!
Finalmente tutto chiaro! Ti sono veramente grato dell'aiuto!Utilizzando le $a_k$ che avevo utilizzato io, si ha quindi che
$lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0 = lim_(x->x_0) (d^(n-1)/(dx^(n-1))(f(x)-(a_n(x-x_0)^n+T_(n-1))))/(d^(n-1)/(dx^(n-1))(x-x_0)^n)$
$= lim_(x->x_0) (f^((n-1))(x) - (n!a_n(x-x_0)+(n-1)!a_(n-1)))/(n!(x-x_0)) = 0$
$<=>a_n=1/(n!) lim_(x->x_0) (f^((n-1))(x)-(n-1)!a_(n-1))/(x-x_0)$
Sapendo che almeno fino a $f^((n-1))$ la derivata è a sua volta derivabile e quindi continua e perciò si può calcolare $a_(n-1)$ come avevo calcolato $a_n$ supponendo che $f^((n))(x)$ fosse continua
$a_(n-1)= lim_(x->x_0) (f^((n-1))(x))/((n-1)!)=(f^((n-1))(x_0))/((n-1)!)$
quindi $a_n=1/(n!) lim_(x->x_0) (f^((n-1))(x)-f^((n-1))(x_0))/(x-x_0) = (f^((n))(x_0))/(n!)$
Grazie ancora!!!
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