Relazioni d'ordine

[Usernamer1]

Ciao a tutti, ho appena iniziato il primo anno di università, e c'è una cosa che non mi è chiara: la relazione d'ordine è un insieme (sottoinsieme di AxA ad esempio) o una relazione tra gli elementi di AxA? O entrambe le cose? Perché da come l'ho letto su wikipedia/appunti sembrerebbe un insieme, ma poi trovo esempi che dicono che >= è una relazione d'ordine, tuttavia >= non è un insieme che io sappia...

[Gi81]

Una relazione d'ordine su un insieme $A$ è un sottoinsieme di $A times A$ con certe proprietà (rilfessiva, antisimmetrica, transitiva).

La relazione $<=$ sull'insieme $RR$ (ma anche $QQ$, ma anche $ZZ$, ma anche $NN$,...)
è una relazione d'ordine. Anche $>=$ la è.

[Usernamer1]

Grazie della risposta intanto, ma quindi se la relazione d'ordine è un insieme e la relazione d'ordine è anche una "relazione" (non saprei come chiamarlo) cioè è anche un ≥ allora il ≥ è un insieme anch'esso?

[Gi81]

Sì, è un insieme.
$<=$ è un sottoinsieme di $RR times RR$.
alcuni suoi elementi sono ad esempio $(0,1)$, $(sqrt3, 100)$, $(-1,-1)$.
Invece ad esempio $(10, 4)$ non appartiene a $<=$

Per convenzione, invece che scrivere $(0,1) in <=$, si scrive $0<=1$.


In generale una relazione $ccR$ da $A$ a $B$ è un sottoinsieme di $A times B$.
e se $(x,y) in ccR$ (ovviamente $x$ appartiene ad $A$ e $y$ appartiene a $B$) si scrive $x ccR y$

[Usernamer1]

ah ok grazie mille, adesso è tutto chiaro

[dissonance]

Comunque, vorrei aggiungere tanto per dire una cosa ovvia: formalmente, le relazioni sono insiemi, ma in realtà nessuno le pensa così. Ad esempio, la relazione \(\le\) dei numeri reali è, formalmente, l'insieme
\[
\{ (x, y)\ :\ x\le y\},\]
ma a livello intuitivo tale relazione ha già un significato molto chiaro e non è che ce lo dobbiamo dimenticare per sostituirlo con questa roba qui.