Relazione tra sup f(x) e integrale f'(x) su $RR$
salve, ho trovato il seguente problema, di cui non riesco proprio a venirne a capo, e vi sarei grato se potreste aiutarmi:
ipotizzando $f$ limitata, $lim_(x->+-\infty)f(x)=lim_(x->+-\infty)f'(x)=0$ ed $f, f'$ sommabili,
risulta verificato che: $Sup_(x in RR)|f(x)|<=int_{-\infty}^{+\infty}|f'(x)|dx
Non so proprio da dove cominciare..
ipotizzando $f$ limitata, $lim_(x->+-\infty)f(x)=lim_(x->+-\infty)f'(x)=0$ ed $f, f'$ sommabili,
risulta verificato che: $Sup_(x in RR)|f(x)|<=int_{-\infty}^{+\infty}|f'(x)|dx
Non so proprio da dove cominciare..
Risposte
Non mi è chiaro a cosa serva l'ipotesi $\lim_{x\to \pm\infty} f'(x) = 0$.
Io procederei così (supponendo $f$ assolutamente continua):
fissato $\epsilon > 0$, esiste $x_0\in RR$ tale che $|f(x_0)| < \epsilon$.
Ma
$f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) dt$.
A questo punto dovrebbe essere chiaro come concludere.
Io procederei così (supponendo $f$ assolutamente continua):
fissato $\epsilon > 0$, esiste $x_0\in RR$ tale che $|f(x_0)| < \epsilon$.
Ma
$f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) dt$.
A questo punto dovrebbe essere chiaro come concludere.
Prova a calcolare questo integrale:
[tex]\displaymath \int_{-\infty}^x f'(t)\,dt[/tex]
[edit] oops - ci siamo sovrapposti io e gac.
[tex]\displaymath \int_{-\infty}^x f'(t)\,dt[/tex]
[edit] oops - ci siamo sovrapposti io e gac.
"gac":Ma se $f'$ è sommabile questo non è automatico? Mi pare di ricordare una cosa del genere, che vale pure per le derivate deboli (le funzioni di $W^(1, 1)(RR)$ sono tutte assolutamente continue). Non conosco questo argomento però, quindi spero di non dire scemenze.
(supponendo $f$ assolutamente continua)
Non sono un esperto nemmeno io, ma se non ricordo male la famosa scala di Cantor ha derivata nulla quasi ovunque (quindi sommabile) ma non è assolutamente continua.
Giusto. Credo di capire dov'è l'inghippo. Il risultato è vero per le derivate deboli (che non c'entrano nulla in questo contesto, quindi non le nomino più e mi scuso per averle tirate in ballo); per le derivate forti è vero se la funzione è derivabile ovunque con derivata limitata. Mi ero dimenticato l'ultimo (fondamentale) pezzetto ... Forse è a questo che serve $lim_{|x|\to \infty} f'(x)=0$.
@Boris: Questo discorso che stiamo facendo io e gac serve ad assicurare che si possa applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Se nella traccia del tuo esercizio era specificato $f \in C^1(RR)$, questo si può certamente fare e non hai problemi. Altrimenti ci sono da escludere casi patologici come quello che diceva gac.
@Boris: Questo discorso che stiamo facendo io e gac serve ad assicurare che si possa applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Se nella traccia del tuo esercizio era specificato $f \in C^1(RR)$, questo si può certamente fare e non hai problemi. Altrimenti ci sono da escludere casi patologici come quello che diceva gac.
Ho il sospetto che non serva l'ipotesi $\lim_{|x|\to \infty} f'(x) = 0$, mentre serve l'assoluta continuità.
Infatti, se ti costruisci una funzione $f$ che vale $0$ fuori da $[-1,1]$, sale con una scala di Cantor su $[-1,0]$ e scende con una scala di Cantor simmetrica su $[0,1]$, allora $f$ ha derivata nulla quasi ovunque, ma sup$|f| > 0$.
C'è da dire che se $f$ è derivabile in ogni punto (e non quasi ovunque), allora la relazione $f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)dt$ è valida per ogni $x\in RR$, quindi è valido anche il risultato.
Infatti, se ti costruisci una funzione $f$ che vale $0$ fuori da $[-1,1]$, sale con una scala di Cantor su $[-1,0]$ e scende con una scala di Cantor simmetrica su $[0,1]$, allora $f$ ha derivata nulla quasi ovunque, ma sup$|f| > 0$.
C'è da dire che se $f$ è derivabile in ogni punto (e non quasi ovunque), allora la relazione $f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)dt$ è valida per ogni $x\in RR$, quindi è valido anche il risultato.
vediamo se ho capito:
visto che la funzione è assolutamente continua, in quanto di classe $C^2$(scusatemi se ho dimenticato di dirvelo!) è vero che: $f(x)=f(x_0)+int_{x_0}^{x}f(x)dx$ passando al limite per $x_0->-\infty$ ed usando i moduli ottengo $|f(x)|=|int_{-\infty}^{x}f(x)dx|<=int_{-\infty}^{x}|f(x)|dx$
infine, poichè la funzione a secondo membro è crescente, ipotizzando che il sup di $f(x)$ si ottenga per $x_0$:
$|f(x_0)|=int_{-\infty}^{x_0}|f(x)|dx<=int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|dx$
credo sia tutto giusto, vero? vi ringrazio per l'aiuto!
visto che la funzione è assolutamente continua, in quanto di classe $C^2$(scusatemi se ho dimenticato di dirvelo!) è vero che: $f(x)=f(x_0)+int_{x_0}^{x}f(x)dx$ passando al limite per $x_0->-\infty$ ed usando i moduli ottengo $|f(x)|=|int_{-\infty}^{x}f(x)dx|<=int_{-\infty}^{x}|f(x)|dx$
infine, poichè la funzione a secondo membro è crescente, ipotizzando che il sup di $f(x)$ si ottenga per $x_0$:
$|f(x_0)|=int_{-\infty}^{x_0}|f(x)|dx<=int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|dx$
credo sia tutto giusto, vero? vi ringrazio per l'aiuto!
Negli integrali c'è $f'$ (e non $f$).
Una volta che hai $|f(x)| \leq \int_{-\infty}^{+\infty} |f'|$, puoi passare al sup in $x$.
(In questo caso il sup è un max quindi è corretto anche assumere che sia assunto in $x_0$, ma non c'è bisogno di spupazzarsi anche questa complicazione.)
Una volta che hai $|f(x)| \leq \int_{-\infty}^{+\infty} |f'|$, puoi passare al sup in $x$.
(In questo caso il sup è un max quindi è corretto anche assumere che sia assunto in $x_0$, ma non c'è bisogno di spupazzarsi anche questa complicazione.)
sisi scusa, ho dimenticato l'apostrofo nel primo integrale e poi in tutti i successivi copia incolla. comunque ti ringrazio ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo