Relazione tra norme
Devo mostrare questa disuguaglianza:
$ ||x||_(oo)<=||x||_2<=sqrt(n)||x||_(oo) $
posso usare l'equivalenza tra norme?
$ ||x||_(oo)<=||x||_2<=sqrt(n)||x||_(oo) $
posso usare l'equivalenza tra norme?
Risposte
Eh no, troppo comodo! Dal teorema generale di equivalenza delle norme sugli spazi di dimensione finita tu sai che esistono certe costanti $C_1, C_2>0$ tali che
\[
C_1\lVert x \rVert_{\infty}\le \lVert x \rVert_2 \le C_2\lVert x \rVert_{\infty}.
\]
Ma quali siano queste costanti, vattelapesca. Il teorema generale non te lo dice. Invece qui ti viene richiesto di provare una disuguaglianza molto più precisa, con dei valori assegnati delle costanti. Ti devi ingegnare un po'.
\[
C_1\lVert x \rVert_{\infty}\le \lVert x \rVert_2 \le C_2\lVert x \rVert_{\infty}.
\]
Ma quali siano queste costanti, vattelapesca. Il teorema generale non te lo dice. Invece qui ti viene richiesto di provare una disuguaglianza molto più precisa, con dei valori assegnati delle costanti. Ti devi ingegnare un po'.
ma nel mio caso non posso prendere come costante $C_1=1$?
Non sono un esperto riguardo all'argomento, ma a me la disuguaglianza sembrerebbe falsa. Un controesempio, se applico bene le definizioni di $||x||_\infty$ e $||x||_2$, sarebbe $x\in\mathbb{R}^2$, $x=(1,2)$.
Sei sicuro che non fosse $||x||_\infty<=\sqrt{n}||x||_2<=\sqrt{n}||x||_\infty$ ? A me questa sembrerebbe vera.
Sei sicuro che non fosse $||x||_\infty<=\sqrt{n}||x||_2<=\sqrt{n}||x||_\infty$ ? A me questa sembrerebbe vera.
"gbspeedy":
ma nel mio caso non posso prendere come costante $C_1=1$?
No, non puoi scegliere tu le costanti. Ripeto: il teorema generale dice "esistono certe costanti $C_1, C_2$ tali che...". Quali siano queste costanti, boh.
dissonance, sicuramente ne sai più di me su questo argomento (non ci vuole molto 
).
Mi puoi dire se ciò che ho detto sopra è vero?
).Mi puoi dire se ciò che ho detto sopra è vero?
Scusate... Temo mi sia sfuggito cosa rappresenti $n$...
@Alfius: La disuguaglianza proposta è vera. Nel caso particolare \(n=1, x=(1, 2)\) essa diviene
\[
2 \le \sqrt{5}\le \sqrt{2}2.
\]
@Seneca: Queste sono norme su \(\mathbb{R}^n\) (o anche su \(\mathbb{C}^n\). \(n\) quindi è la dimensione dello spazio.
\[
2 \le \sqrt{5}\le \sqrt{2}2.
\]
@Seneca: Queste sono norme su \(\mathbb{R}^n\) (o anche su \(\mathbb{C}^n\). \(n\) quindi è la dimensione dello spazio.
dissonance, correggimi se sbaglio, ma dicendo $x=(1,2)\in\mathbb{R}^2$ sto supponendo $n=2$. Sbaglio?
Forse ho in mente la definizione sbagliata di $||x||_2$.
Non è $||x||_2=\sqrt{1/n\sum_{k=1}^n x_k^2}$ ? (sull'argomento ho conoscenze molto scarse e che risalgono a molto tempo fa, magari ricordo male la definizione)
Forse ho in mente la definizione sbagliata di $||x||_2$.
Non è $||x||_2=\sqrt{1/n\sum_{k=1}^n x_k^2}$ ? (sull'argomento ho conoscenze molto scarse e che risalgono a molto tempo fa, magari ricordo male la definizione)
La norma 2 è semplicemente \[\sqrt{ \sum_{k = 1 }^{n} x_k^2 }\]
"Alfius":
Non è $||x||_2=\sqrt{1/n\sum_{k=1}^n x_k^2}$ ?
Ah ecco. No, la definizione che si usa di solito è
\[
\lVert x \rVert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n \lvert x_i\rvert^2}.\]
Grazie per il chiarimento dissonance, allora concordo sulla verità della disuguaglianza postata all'inizio.
per la relazione a dx posso dire:
$ ||x||_2=(sum_(i = 1)^(n) x_i^2)^(1/2)<=(sum_(i = 1)^(n) 1 * x_i^2)^(1/2)<=(max |x_i^2|)^(1/2) * (sum_(i = 1)^(n) 1)^(1/2)=sqrt(n)||x||_oo $
$ ||x||_2=(sum_(i = 1)^(n) x_i^2)^(1/2)<=(sum_(i = 1)^(n) 1 * x_i^2)^(1/2)<=(max |x_i^2|)^(1/2) * (sum_(i = 1)^(n) 1)^(1/2)=sqrt(n)||x||_oo $
"gbspeedy":
per la relazione a dx posso dire:
$ ||x||_2=(sum_(i = 1)^(n) x_i^2)^(1/2)<=(sum_(i = 1)^(n) 1 * x_i^2)^(1/2)<=(max |x_i^2|)^(1/2) * (sum_(i = 1)^(n) 1)^(1/2)=sqrt(n)||x||_oo $
Sì... E per la prima direi:
$EE$ $i$ $:$ $||x||_oo = x_i <= (sum_(i = 1)^(n) |x_i|^2)^(1/2) = ||x||_2$ .
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