Relazione tra modi di convergenza
A lezione abbiamo visto "nuovi" modi di convergenza di funzioni (nel nostro specifico caso di variabili aleatorie[nota]Sto vedendo queste cose in un corso di Probabilità quindi non stiamo approfondendo troppo[/nota], ma poco cambia): quasi ovunque, in \(L^p\), in misura e in legge (o debole)[nota]Quest'ultima credo sia più specifica per probabilità, non so bene come se ci sia un equivalente in Analisi[/nota].
Come mi piace fare, per fissare bene, riporto le varie definizioni, senza essere troppo formale, in spoiler:
Abbiamo poi visto quali sono le relazione tra queste, cioè che senza ipotesi aggiuntive:
\[\stackrel{q.o}{\to} \implies \stackrel{\mu}{\to}, \ \ \ \stackrel{L^p}{\to} \implies \stackrel{\mu}{\to}\]
E poi, sotto ipotesi specifiche valgono anche le implicazioni inverse.
In questa discussione sui tipi di convergenza non abbiamo praticamente coinvolto le convergenze "normali", ovvero puntuale e uniforme.
Come si collocano queste due dello schema di inclusioni? A occhio, soprattutto la uniforme, direi che è abbastanza forte.
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Come accennavo prima, abbiamo cominciato a vedere la convergenza debole per misure di probabilità:
A partire da questa, si definisce poi la convergenza in legge di v.a. reali utilizzando come misura di probabilità la legge della variabile, che formalmente è il push forward della misura \(\mu\) attraverso la variabile aleatoria (funzione misurabile) \(X\):
\[P^X = X_*(\mu) = \mu \circ X^{-1}\]
La domanda è, passando dal mondo probabilistico a quello dell'analisi, come si traduce questo concetto? C'è un parallelo? Mi è sembrato di capire che con convergenza debole in Analisi di intendano convergenze legate a particolari topologie su spazi normati, ma c'entra qualcosa con questo?
Saluti
Come mi piace fare, per fissare bene, riporto le varie definizioni, senza essere troppo formale, in spoiler:
Abbiamo poi visto quali sono le relazione tra queste, cioè che senza ipotesi aggiuntive:
\[\stackrel{q.o}{\to} \implies \stackrel{\mu}{\to}, \ \ \ \stackrel{L^p}{\to} \implies \stackrel{\mu}{\to}\]
E poi, sotto ipotesi specifiche valgono anche le implicazioni inverse.
In questa discussione sui tipi di convergenza non abbiamo praticamente coinvolto le convergenze "normali", ovvero puntuale e uniforme.
Come si collocano queste due dello schema di inclusioni? A occhio, soprattutto la uniforme, direi che è abbastanza forte.
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Come accennavo prima, abbiamo cominciato a vedere la convergenza debole per misure di probabilità:
Convergenza debole. Siano \(\mu,\mu_1,\mu_2,\dots\) misure di probabilità in \(\mathbb{R}^d\). Si diche che \((\mu_n)_{n\ge 1}\) converge debolmente a \(\mu\) se, per ogni \(f\) reale, continua e limitata su \(\mathbb{R}^d\) si ha:
\[\lim_{n \to \infty} \int f d\mu_n = \int f d\mu\]
A partire da questa, si definisce poi la convergenza in legge di v.a. reali utilizzando come misura di probabilità la legge della variabile, che formalmente è il push forward della misura \(\mu\) attraverso la variabile aleatoria (funzione misurabile) \(X\):
\[P^X = X_*(\mu) = \mu \circ X^{-1}\]
La domanda è, passando dal mondo probabilistico a quello dell'analisi, come si traduce questo concetto? C'è un parallelo? Mi è sembrato di capire che con convergenza debole in Analisi di intendano convergenze legate a particolari topologie su spazi normati, ma c'entra qualcosa con questo?
Saluti
Risposte
up
Qualcuno sa darmi qualche hint?
Saluti
Saluti
La convergenza puntuale, nella categoria delle variabili aleatorie o delle funzioni misurabili, non esiste proprio: tutte le funzioni sono definite a meno di insiemi di misura nulla. Quindi non esiste neanche la convergenza uniforme che è rimpiazzata dalla convergenza nel senso dello spazio \(L^\infty\).
La convergenza debole di una successione di variabili aleatorie è una forma di convergenza delle relative distribuzioni nel senso delle misure. Qui c'è una discrepanza tra il linguaggio dei probabilisti e quello degli analisti, perché un analista userebbe come funzioni test le funzioni continue e a supporto compatto. (Inoltre un analista direbbe probabilmente "convergenza debole-star", ma questo è proprio un dettaglio scemo). Infatti lo spazio delle misure finite (di Radon, ovvero non troppo terribili - tutte le distribuzioni di probabilità sono di Radon) è uno spazio di Banach che è esattamente il duale del completamento di \(C_c\) (funzioni continue a supporto compatto) rispetto alla norma uniforme.
Comunque, come sempre le notazioni non sono scolpite nel marmo ma variano da autore ad autore e da pubblicazione a pubblicazione. Si usano anche termini come "convergenza vaga", "convergenza molto debole", cose così.
Infine, non disprezzare la probabilità, ti sbagli. E' una materia affascinante e alcuni metodi probabilistici stanno avendo molto successo in analisi delle PDE. E poi se padroneggi la probabilità hai un sacco di intuizione in più in teoria della misura.
La convergenza debole di una successione di variabili aleatorie è una forma di convergenza delle relative distribuzioni nel senso delle misure. Qui c'è una discrepanza tra il linguaggio dei probabilisti e quello degli analisti, perché un analista userebbe come funzioni test le funzioni continue e a supporto compatto. (Inoltre un analista direbbe probabilmente "convergenza debole-star", ma questo è proprio un dettaglio scemo). Infatti lo spazio delle misure finite (di Radon, ovvero non troppo terribili - tutte le distribuzioni di probabilità sono di Radon) è uno spazio di Banach che è esattamente il duale del completamento di \(C_c\) (funzioni continue a supporto compatto) rispetto alla norma uniforme.
Comunque, come sempre le notazioni non sono scolpite nel marmo ma variano da autore ad autore e da pubblicazione a pubblicazione. Si usano anche termini come "convergenza vaga", "convergenza molto debole", cose così.
Infine, non disprezzare la probabilità, ti sbagli. E' una materia affascinante e alcuni metodi probabilistici stanno avendo molto successo in analisi delle PDE. E poi se padroneggi la probabilità hai un sacco di intuizione in più in teoria della misura.
"dissonance":
La convergenza debole di una successione di variabili aleatorie è una forma di convergenza delle relative distribuzioni nel senso delle misure. Qui c'è una discrepanza tra il linguaggio dei probabilisti e quello degli analisti, perché un analista userebbe come funzioni test le funzioni continue e a supporto compatto. (Inoltre un analista direbbe probabilmente "convergenza debole-star", ma questo è proprio un dettaglio scemo). Infatti lo spazio delle misure finite (di Radon, ovvero non troppo terribili - tutte le distribuzioni di probabilità sono di Radon) è uno spazio di Banach che è esattamente il duale del completamento di \(C_c\) (funzioni continue a supporto compatto) rispetto alla norma uniforme.
Questo è molto interessante. Lo sentivo che sotto sotto c'entravano le distribuzioni. Solo che non riuscivo a fare bene il collegamento. In pratica in questo caso le distribuzioni sullo spazio delle funzioni test sarebbero una cosa del genere (più o meno):
\[\langle T_\mu,f \rangle = \int_\Omega f \text{d}\mu \quad \text{dove} \ \ f \in C_c, T_\mu \in C_c^*\]
In pratica sfruttiamo l'isomorfismo tra una misura \(\mu\) e il funzionale \(T_\mu\) da essa definito. No?
EDIT: Mi incurioscisce molto. Mi daresti qualche riferimento sullo spazio delle misure di Radon come duale di \(C_c\). Non sarebbe per adesso ma lo terrei per quando studierò seriamente queste cose. Rudin R&CA? Folland? Si trova qualcosa su questi?
"dissonance":
Infine, non disprezzare la probabilità, ti sbagli. E' una materia affascinante e alcuni metodi probabilistici stanno avendo molto successo in analisi delle PDE. E poi se padroneggi la probabilità hai un sacco di intuizione in più in teoria della misura.
Non la disprezzo, ma è lei a non amarmi particolarmente
Mi dispiace solo di vedere prima questi concetti qui e poi in analisi, avendo fatto il contrario mi sarei gustato di più questo corso concentrandomi maggiormente sugli aspetti probabilistici.Se non erro non si applicano metodi probabilistici per lo studio dei fenomeni di diffusione?
"dissonance":
La convergenza puntuale, nella categoria delle variabili aleatorie o delle funzioni misurabili, non esiste proprio: tutte le funzioni sono definite a meno di insiemi di misura nulla. Quindi non esiste neanche la convergenza uniforme che è rimpiazzata dalla convergenza nel senso dello spazio \(L^\infty\).
Questo punto non l'ho ben capito. Ok, gli spazi \(L^p\), come tante altre proprietà delle funzioni misurabili, si definiscono a meno di un insieme di misura nulla, ma ciò non esclude il concetto di convergenza puntuale. O meglio, in questi contesti è abbastanza inutile, però non è che non si può definire. Cioè io mi aspetterei che se:
\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \quad \forall x\]
Allora queste successione converga quasi ovunque. Mi sbaglio?
Grazie infinite per l'aiuto
Sull'ultimo punto, il fatto è che le variabili aleatorie sono proprio definite a meno di insiemi di misura nulla. Ad essere proprio puntigliosi, una variabile aleatoria non è una funzione ma una classe di equivalenza di funzioni. Tu puoi chiaramente scegliere un rappresentante di questa classe, ma ogni operazione che compi deve essere indipendente da questa scelta, ed è per questo che la convergenza puntuale sarà sempre in senso "quasi ovunque". Comunque, sono dettagli, niente di così importante.
Sulle misure di Radon, sono gli oggetti che descrivono la distribuzione di qualcosa nello spazio. In probabilità questo qualcosa sono i valori assumibili da una variabile aleatoria, in fluidodinamica la massa di un fluido, in elettrodinamica la carica elettrica, eccetera. (In realtà non conosco altri esempi
). Sono più generali delle funzioni perché possono anche concentrarsi su insiemi di misura nulla, come ad esempio la delta di Dirac e le sue parenti di dimensione superiore. Una goccia di inchiostro nell'acqua si può descrivere con una delta di Dirac, per esempio; mentre in probabilità una delta di Dirac indica una variabile aleatoria che assume un unico valore con probabilità 1.
In generale un oggetto simile non può essere valutato in un punto, come una funzione. (E del resto, come dicevamo prima, neanche una funzione può essere valutata in un punto se è definita solo a meno di equivalenza "quasi ovunque"). Però se ne possono calcolare gli integrali: fissata una regione di spazio, magari piccola, si può dire "quanto" di quella distribuzione c'è là dentro. Più in generale si possono calcolare "medie pesate", corrispondenti a integrali $\int \phi d\mu$, dove \(\phi\) è una funzione continua e a supporto compatto. (Il supporto compatto serve perché in generale la quantità totale di distribuzione è infinita, e quindi l'integrale potrebbe non essere finito o non esistere proprio).
Ed è così che si formalizza il concetto intuitivo, con la solita sfilza di teoremi a base di spazi di Banach e spazi duali. Dove te li puoi studiare? Buh, io ho visto qualcosa qua e là in vari corsi, analisi, teoria geometrica della misura, probabilità. Sono concetti che si usano in questi ambiti, ogni volta con linguaggio leggermente diverso. Puoi vederteli sul Folland, evita il Rudin perché non ci si capisce niente, ma non ti consiglio di mettertici su se non ti servono strettamente.
Sulle misure di Radon, sono gli oggetti che descrivono la distribuzione di qualcosa nello spazio. In probabilità questo qualcosa sono i valori assumibili da una variabile aleatoria, in fluidodinamica la massa di un fluido, in elettrodinamica la carica elettrica, eccetera. (In realtà non conosco altri esempi
). Sono più generali delle funzioni perché possono anche concentrarsi su insiemi di misura nulla, come ad esempio la delta di Dirac e le sue parenti di dimensione superiore. Una goccia di inchiostro nell'acqua si può descrivere con una delta di Dirac, per esempio; mentre in probabilità una delta di Dirac indica una variabile aleatoria che assume un unico valore con probabilità 1. In generale un oggetto simile non può essere valutato in un punto, come una funzione. (E del resto, come dicevamo prima, neanche una funzione può essere valutata in un punto se è definita solo a meno di equivalenza "quasi ovunque"). Però se ne possono calcolare gli integrali: fissata una regione di spazio, magari piccola, si può dire "quanto" di quella distribuzione c'è là dentro. Più in generale si possono calcolare "medie pesate", corrispondenti a integrali $\int \phi d\mu$, dove \(\phi\) è una funzione continua e a supporto compatto. (Il supporto compatto serve perché in generale la quantità totale di distribuzione è infinita, e quindi l'integrale potrebbe non essere finito o non esistere proprio).
Ed è così che si formalizza il concetto intuitivo, con la solita sfilza di teoremi a base di spazi di Banach e spazi duali. Dove te li puoi studiare? Buh, io ho visto qualcosa qua e là in vari corsi, analisi, teoria geometrica della misura, probabilità. Sono concetti che si usano in questi ambiti, ogni volta con linguaggio leggermente diverso. Puoi vederteli sul Folland, evita il Rudin perché non ci si capisce niente, ma non ti consiglio di mettertici su se non ti servono strettamente.
Mi hai chiarito un po' le idee, grazie mille
Ieri sera infatti mi sono letto di sfuggita alcune parti del capitolo sulle misure di Radon del Folland e ho visto che c'è tutto. Quando seguirò Analisi Reale mi ci dedicherò.
[ot]Amo questo libro! E' chiaro, rigoroso, pulito e tratta tantissimi argomenti. E' un libro difficile ma in qualche misura amichevole. Lo stesso non posso dire del Rudin R&CA che, secondo il mio parere, è molto confusionario. Gli altri due testi del Rudin (Principles e Functional), sebbene difficili, li trovo meglio strutturati. R&CA però è da avere perché è presente in molte bibliografie. Il Folland invece è relativamente poco conosciuto ma è eccezionale sia per le basi di Analisi Funzionale Topologica che per la teoria della misura. Per non parlare del capitolo finale dove mostra l'integrazione sulle varietà. Sublime![/ot]
EDIT: Nel Folland ho letto anche questo riguardo alla convergenza:
"dissonance":
Puoi vederteli sul Folland, evita il Rudin perché non ci si capisce niente, ma non ti consiglio di mettertici su se non ti servono strettamente.
Ieri sera infatti mi sono letto di sfuggita alcune parti del capitolo sulle misure di Radon del Folland e ho visto che c'è tutto. Quando seguirò Analisi Reale mi ci dedicherò.
[ot]Amo questo libro! E' chiaro, rigoroso, pulito e tratta tantissimi argomenti. E' un libro difficile ma in qualche misura amichevole. Lo stesso non posso dire del Rudin R&CA che, secondo il mio parere, è molto confusionario. Gli altri due testi del Rudin (Principles e Functional), sebbene difficili, li trovo meglio strutturati. R&CA però è da avere perché è presente in molte bibliografie. Il Folland invece è relativamente poco conosciuto ma è eccezionale sia per le basi di Analisi Funzionale Topologica che per la teoria della misura. Per non parlare del capitolo finale dove mostra l'integrazione sulle varietà. Sublime![/ot]
EDIT: Nel Folland ho letto anche questo riguardo alla convergenza:
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