Relazione tra matrice hessiana e convessità

[thedarkhero]

Suppongo di avere una funzione $f:RR^n->RR$ sufficientemente regolare (di classe almeno $C^2$) e $Hf(x)>0$ $AAx\inRR^n$ (cioè l'hessiana è positiva per ogni x).
Come posso provare che $f$ è strettamente convessa, cioè che $f(tx+(1-t)y) L'unica idea che mi era venuta era di usare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine di $f$ ma non ho concluso nulla...

[ciampax]

Prova a derivare la funzione $g(t)=f(t(x-y)-y)$ due volte rispetto a $t$.

[thedarkhero]

Se non sbaglio dovrei ottenere $\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^nf_(x_i,x_j)(t(x-y)-y)(x_i-y_i)(x_j-y_j)$?

[ciampax]

Sì... e quella è una cosa che puoi vedere in forma matriciale così:
$$(x-y)\cdot Hf\cdot (x-y)^T$$
e visto che l'Hessiana è positiva...

[thedarkhero]

Avrò dunque $g(t)$ con la concavità verso l'alto, ma questo in che modo comporta che $f(tx+(1-t)y)

Cita

Segnala