Relazione tra integrale definito e integrale indefinito.
Ciao a tutti,
ho qualche difficoltà a capire il nesso tra integrale definito e integrale indefinito. Mi è chiaro che l'integrale definito, detto veramente in soldoni, è la somma dell'are dei rettangoli che posso disegnare tra la curva della funzione e l'asse delle ascisse. Il che, se la base dei rettangoli tende a 0, mi da esattamente l'area sotto la curva. Fino a qui è tutto molto intuitivo.
Nei vari testi che ho letto dopo aver spiegato l'integrale definito, si passa a spiegare l'integrale indefinito, spiegandolo come l'insieme delle primitive della funzione. Quindi non si tratta più di un'area, ma di un insieme di funzioni, che però posso usare per calcolare l'area.
Quello che mi sfugge è: com'è che valutando la primitiva in due punti e sottraendo un valore all'altro ottengo proprio l'area sotto la curva? Proprio lo stesso valore ottenuto dalla somma dei rettangoli. Somma di rettangoli = sottrazione della valutazione della primitiva nei due punti limite. ??
ho qualche difficoltà a capire il nesso tra integrale definito e integrale indefinito. Mi è chiaro che l'integrale definito, detto veramente in soldoni, è la somma dell'are dei rettangoli che posso disegnare tra la curva della funzione e l'asse delle ascisse. Il che, se la base dei rettangoli tende a 0, mi da esattamente l'area sotto la curva. Fino a qui è tutto molto intuitivo.
Nei vari testi che ho letto dopo aver spiegato l'integrale definito, si passa a spiegare l'integrale indefinito, spiegandolo come l'insieme delle primitive della funzione. Quindi non si tratta più di un'area, ma di un insieme di funzioni, che però posso usare per calcolare l'area.
Quello che mi sfugge è: com'è che valutando la primitiva in due punti e sottraendo un valore all'altro ottengo proprio l'area sotto la curva? Proprio lo stesso valore ottenuto dalla somma dei rettangoli. Somma di rettangoli = sottrazione della valutazione della primitiva nei due punti limite. ??
Risposte
Perchè la costante scompare.
Ad esempio $F(x)=x^2+C$
$F(b)-F(a)=b^2+C-a^2-C=b^2-a^2=int_a^b 2xdx$
Ad esempio $F(x)=x^2+C$
$F(b)-F(a)=b^2+C-a^2-C=b^2-a^2=int_a^b 2xdx$
Ciao davikokar.
Dal punto di vista teorico non è una cosa banale, che si vede così, immediatamente, a occhio nudo.
E' un importante teorema di analisi, il Teorema fondamentale del calcolo integrale, bisogna studiare quello.
Dal punto di vista teorico non è una cosa banale, che si vede così, immediatamente, a occhio nudo.
E' un importante teorema di analisi, il Teorema fondamentale del calcolo integrale, bisogna studiare quello.
Dalla tua introduzione, intuiamo che fai riferimento all'integrale secondo Riemann (a questo livello di trattazione, comunque, tale precisazione non aggiunge nessuna informazione utile, a parte il relativo metodo di esaustione necessario per definire l'integrale definito).
Sia data $f:\ [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$, limitata.
Indichiamo (senza definirle, ma sappiamo che cosa rappresentino, no?) con
$s_{n}=\sum_{k=1}^{n}m_{k}\ \Delta x$ la somma inferiore
e con $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}M_{k}\ \Delta x$ la somma superiore.
Si dimostra che su un intervallo chiuso e limitato [a,b], le due successioni ${s_{n}}$ e ${S_{n}}$ sono convergenti e convergono allo stesso limite.
Questo numero e', per definizione, l'area del trapezoide sotteso dalla curva e l'asse delle ascisse (per costruzione, appunto).
Gran parte di questa definizione non ha nulla di originale, in quanto ha trattato il problema come lo trattavano gli antichi greci, praticamente. L'unica vera e profonda differenza e' il passaggio al limite. Non e' banale.
Ricorda questo fatto e studialo bene: l'integrale definito e' un numero reale.
Hai studiato il teorema fondamentale del calcolo integrale?
E' fondamentale, quindi devi studiarlo.
Ad ogni modo, questo teorema introduce un secondo oggetto matematico che prende il nome di funzione integrale:
$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\text{d}t$ (e' una funzione).
In questo momento ci interessa solo un fatto: questo teorema ci permette di affermare che
$F^{'}(x)=f(x)\ \forall x\in [a,b]$
Per definizione una funzione G si dice primitiva di f se $G^{'}(x)=f(x)\ \forall x\in [a,b]$, quindi F (introdotta nel teorema fondamentale del calcolo integrale) e' una primitiva di f.
A questo punto possiamo introdurre un terzo oggetto matematico: l'integrale indefinito.
L'integrale indefinito rappresenta l'insieme di tutte le primitive di f e sicuramente non e' un insieme vuoto in quanto contiene almeno F.
Questo insieme e' indicato con il seguente simbolo:
$\int f(x)\text{d}x$
Si dimostra che:
In pratica due primitive differiscono per una costante c reale.
Questo fatto ci permette di fare la seguente osservazione:
$\int f(x)\text{d}x=F(x)+\text{c}\ \forall \ \text{c} \in\mathbb{R}$
Un immediato corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale (lo hanno chiamato fondamentale, quindi c'e' un motivo) e' il seguente:
Questo e' il punto fondamentale di tutta la trattazione.
Infatti, $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\text{d}t$ quindi
$\int_{a}^{b}f(t)\text{d}t=F(b)=F(b)-F(a)$ (1)
in quanto $F(a)=\int_{a}^{a}f(t)\text{d}t=0$
Sono chiari questi passaggi? Devi pensare all'intervallo [a,b] e alla additività dell'integrale.
Poiché le primitive differiscono per una costante c e se G e' una primitiva di f allora
$F(x)=G(x)+\text{c}$
Sostituendo in (1)
$\int_{a}^{b}f(t)\text{d}t=[G(b)+\text{c}]-[G(a)+\text{c}]=G(b)-G(a)$
vera per ogni primitiva di f in [a,b].
Sia data $f:\ [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$, limitata.
Indichiamo (senza definirle, ma sappiamo che cosa rappresentino, no?) con
$s_{n}=\sum_{k=1}^{n}m_{k}\ \Delta x$ la somma inferiore
e con $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}M_{k}\ \Delta x$ la somma superiore.
Si dimostra che su un intervallo chiuso e limitato [a,b], le due successioni ${s_{n}}$ e ${S_{n}}$ sono convergenti e convergono allo stesso limite.
Chiamiamo integrale definito di f su [a,b] il numero
$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}$
Questo numero e', per definizione, l'area del trapezoide sotteso dalla curva e l'asse delle ascisse (per costruzione, appunto).
Gran parte di questa definizione non ha nulla di originale, in quanto ha trattato il problema come lo trattavano gli antichi greci, praticamente. L'unica vera e profonda differenza e' il passaggio al limite. Non e' banale.
Ricorda questo fatto e studialo bene: l'integrale definito e' un numero reale.
Hai studiato il teorema fondamentale del calcolo integrale?
E' fondamentale, quindi devi studiarlo.
Ad ogni modo, questo teorema introduce un secondo oggetto matematico che prende il nome di funzione integrale:
$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\text{d}t$ (e' una funzione).
In questo momento ci interessa solo un fatto: questo teorema ci permette di affermare che
$F^{'}(x)=f(x)\ \forall x\in [a,b]$
Per definizione una funzione G si dice primitiva di f se $G^{'}(x)=f(x)\ \forall x\in [a,b]$, quindi F (introdotta nel teorema fondamentale del calcolo integrale) e' una primitiva di f.
A questo punto possiamo introdurre un terzo oggetto matematico: l'integrale indefinito.
L'integrale indefinito rappresenta l'insieme di tutte le primitive di f e sicuramente non e' un insieme vuoto in quanto contiene almeno F.
Questo insieme e' indicato con il seguente simbolo:
$\int f(x)\text{d}x$
Si dimostra che:
Se $G_{1}$ e $G_{2}$ sono due primitive di f in [a,b] allora $\exists\ \text{c} \in \mathbb{R}$ tale che $G_{1}(x)=G_{2}(x)+\text{c}\ \forall x\in [a,b]$
In pratica due primitive differiscono per una costante c reale.
Questo fatto ci permette di fare la seguente osservazione:
$\int f(x)\text{d}x=F(x)+\text{c}\ \forall \ \text{c} \in\mathbb{R}$
Un immediato corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale (lo hanno chiamato fondamentale, quindi c'e' un motivo) e' il seguente:
$\int_{a}^{b}f(t)\text{d}t=G(b)-G(a)$
Questo e' il punto fondamentale di tutta la trattazione.
Infatti, $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\text{d}t$ quindi
$\int_{a}^{b}f(t)\text{d}t=F(b)=F(b)-F(a)$ (1)
in quanto $F(a)=\int_{a}^{a}f(t)\text{d}t=0$
Sono chiari questi passaggi? Devi pensare all'intervallo [a,b] e alla additività dell'integrale.
Poiché le primitive differiscono per una costante c e se G e' una primitiva di f allora
$F(x)=G(x)+\text{c}$
Sostituendo in (1)
$\int_{a}^{b}f(t)\text{d}t=[G(b)+\text{c}]-[G(a)+\text{c}]=G(b)-G(a)$
vera per ogni primitiva di f in [a,b].
@davikokar. C'è però una cosa da specificare, a scanso di equivoci.
L'integrale non è in generale l'area: dove la funzione è negativa, l'integrale è negativo e essendo un numero negativo non rappresenta un'area (l'area è un numero positivo).
L'integrale è l'area del sottografico (cioè la parte di piano tra la funzione e l' asse delle ascisse) solo se la funzione è positiva.
Ad esempio, se abbiamo una funzione che ha parte negativa e parte positiva uguali (quindi le parti di piano tra la funzione e l'asse delle ascisse sopra e sotto l'asse sono uguali) l'integrale è 0 e non è l'area.
Diciamo che non è 'sano' dire a un esame che l'integrale è l'area senza specificare...
L'integrale non è in generale l'area: dove la funzione è negativa, l'integrale è negativo e essendo un numero negativo non rappresenta un'area (l'area è un numero positivo).
L'integrale è l'area del sottografico (cioè la parte di piano tra la funzione e l' asse delle ascisse) solo se la funzione è positiva.
Ad esempio, se abbiamo una funzione che ha parte negativa e parte positiva uguali (quindi le parti di piano tra la funzione e l'asse delle ascisse sopra e sotto l'asse sono uguali) l'integrale è 0 e non è l'area.
Diciamo che non è 'sano' dire a un esame che l'integrale è l'area senza specificare...
Giusta osservazione, e' un'area con segno.
Se non ha chiaro nemmeno questo concetto, allora significa che deve studiare il capitolo dall'inizio
Ma l'OP e' scomparso...
Se non ha chiaro nemmeno questo concetto, allora significa che deve studiare il capitolo dall'inizio
Ma l'OP e' scomparso...
Sì, quando si studiano queste cose per la prima volta è facile che sfugga se il libro o il professore non lo dicono esplicitamente. Si sente troppo spesso dire che l'integrale è l'area senza specificare.
L'OP avrà da fare cose più divertenti degli integrali e caso mai riapparirà!
L'OP avrà da fare cose più divertenti degli integrali e caso mai riapparirà!
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