Relazione tra due sottosuccessioni estratte da successioni divergenti
Buongiorno a tutti.
Sulle dispense ho trovato questo lemma sulle sottosuccessioni:
Date due successioni reali divergenti $\{t_k\} \ e \ \{s_k\}$, esistono sempre due sottosuccessioni $\{s_{k_j}\} \ e \ \{t_{k_j}\}$ tali che $t_{k_j} < s_{k_j} < t_{k_{j+1}} \ \forall j \in \mathbb{N}$.
E' possibile che manchi qualche ipotesi sulla relazione tra le successioni $\{t_k\} \ e \ \{s_k\}$?
Oppure, basta prendere due successioni reali divergenti qualsiasi e si ha sempre la tesi?
Sulle dispense ho trovato questo lemma sulle sottosuccessioni:
Date due successioni reali divergenti $\{t_k\} \ e \ \{s_k\}$, esistono sempre due sottosuccessioni $\{s_{k_j}\} \ e \ \{t_{k_j}\}$ tali che $t_{k_j} < s_{k_j} < t_{k_{j+1}} \ \forall j \in \mathbb{N}$.
E' possibile che manchi qualche ipotesi sulla relazione tra le successioni $\{t_k\} \ e \ \{s_k\}$?
Oppure, basta prendere due successioni reali divergenti qualsiasi e si ha sempre la tesi?
Risposte
Secondo te?
Hai provato a dimostrare?
Hai provato a dimostrare?
Si potrebbero definire le sottosuccessioni induttivamente:
$\{\tau_j\}=\{t_{k_j}\} \ e \ \{\sigma_j\}=\{s_{k_j}\}$
Fisso $\tau_j$ e per $j\geq1$ Definisco:
$\sigma_j =min_{k \in \mathbb{N}} \{s_k : s_k > \tau_j \}$
e
$\tau_{j+1} =min_{k \in \mathbb{N}} \{t_k : t_k > \sigma_j \}$
In questo modo ho la tesi
Giusto?
$\{\tau_j\}=\{t_{k_j}\} \ e \ \{\sigma_j\}=\{s_{k_j}\}$
Fisso $\tau_j$ e per $j\geq1$ Definisco:
$\sigma_j =min_{k \in \mathbb{N}} \{s_k : s_k > \tau_j \}$
e
$\tau_{j+1} =min_{k \in \mathbb{N}} \{t_k : t_k > \sigma_j \}$
In questo modo ho la tesi
Giusto?
Già.
L’unica cosa da precisare è che si tratta di successioni entrambe positivamente divergenti, altrimenti le cose non funzionano.
L’unica cosa da precisare è che si tratta di successioni entrambe positivamente divergenti, altrimenti le cose non funzionano.
Grazie!
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