Relazione tra convergenza totale ed uniforme

[eureka123]

Salve a tutti,oggi il professore di Analisi Matematica II ha spiegato la relazione tra convergenza totale e convergenza uniforme,dicendo che

CONVERGENZA TOTALE \( \Rightarrow \)CONVERGENZA UNIFORME ,ed ha accennato ad una dimostrazione la quale non mi è ben chiara.
Ha detto che dovevamo dimostrare che la serie di funzione fosse di Couchy.
Cioè \[\forall \varepsilon > 0 \exists\nu : n>\nu ,\forall k\left | f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+k}(x) \right |<\varepsilon \]

Poi ha detto che Usando la disuguaglianza triangolare abbiamo che
\[ \left | f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+k}(x) \right | \leq | f_{n+1}(x)|+|f_{n+2}(x)|+...+|f_{n+k}(x)| \leq M_{n+1}+M_{n+2}+...+M_{n+k}\] \[< \varepsilon \]
Ha giustificato quest'ultimo passaggio dicendo che la serie è totalmente convergente.
E poi ha detto che per Couchy per le serie numeriche \(\sum_{n=1}^{\infty }M_n < \infty \)
Ora mi chiedo il fatto che la serie sia totalmente convergente implica la seconda disuguaglianza?
Il fatto che la serie \(M_n\) converga non ci è data direttamente dalla definizione di convergenza totale?
Inoltre lui ha accennato che abbiamo usato Couchy due volte,una come condizione necessaria e l'altra come sufficiente.
Potete aiutarmi a capire?Anche perchè credo che la dimostrazione non l'ho copiata giusta,se così fosse e mi aiutate ad aggiustarla ve ne sarei grato.

[gugo82]

[OT]

"Couchy"???

Stai studiando Analisi II ed ancora non sai come si scrive correttamente quel nome?

[/OT]

Ad ogni modo, si sta applicando la definizione di serie totalmente convergente... La conosci?

[eureka123]

Scusa per Cauchy,è un errore abituale,non ci posso fare niente.Comunque oggi l'ha spiegato,la totale convergenza credevo fosse data dalla seconda relazione perchè dovrebbe essere che \(|f_{n}(x)

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[gugo82]

"eureka123":Scusa per Cauchy,è un errore abituale,non ci posso fare niente.

Beh, correggiti.

"eureka123":Comunque oggi l'ha spiegato,la totale convergenza credevo fosse data dalla seconda relazione perchè dovrebbe essere che \(|f_{n}(x)
La definizione va detta bene (come "Couchy"... Sei troppo approssimativa/o):

Una serie di funzioni \(\sum f_n(x)\) definita in un insieme \(X\subseteq \mathbb{R}^N\) è detta totalmente convergente in \(X\) se e solo se esiste una serie numerica \(\sum M_n\) tale che:

i. per ogni \(n\in \mathbb{N}\) si ha \(M_n\geq 0\);
ii. per ogni \(n\in \mathbb{N}\) si ha \(|f_n(x)|\leq M_n\) per ogni \(x\in X\);
iii. la serie \(\sum M_n\) converge.

Nella dimostrazione che hai proposto stai usando il criterio di convergenza di Cauchy applicato alla serie convergente \(\sum M_n\).

[eureka123]

Scusa la non precisione ma oggi pomerigio l'ha spiegata il professore,quindi me lo stavo studiando ora.
Comunque,sarà l'ora o la mia ignoranza ma non capisco una cosa,il teorema di Cauchy afferma che :"Una successione \(a_{n}\) è convergente se e solo se è di Cauchy",ora io già so che la mia \(M_{n}\) converge sapere che sia di Cauchy cosa mi garantisce? Scusami abbi un pò di pazienza.

[gugo82]

Infatti non è \(M_n\) a convergere, ma \(\sum M_n\).
Quindi, applicando il criterio di Cauchy alla serie, ottieni che \(\sum M_n\) converge se e solo se...