Relazione italiano

[MISTERCEC]

Proprietà ciao

[ciampax]

Una isometria è tale se conserva la distanza di due punti, nel nostro caso la distanza euclidea nel piano, cioè questa

[math]d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}[/math]

essendo

[math]P_i(x_i,y_i),\ i=1,2[/math]

i due punti in questione.

Usando la trasformazione da te scritta e chiamando

[math]P'_i(x_i',y_i'),\ i=1,2[/math]

i due punti trasformati, essa risulta allora una isometria se e solo se

[math]d(P_1',P_2')=d(P_1,P_2)[/math]

Poiché possiamo scrivere

[math]x_i'=ax_i+by_i+c,\qquad y_i'=a'x_i+b'y_i+c',\qquad i=1,2[/math]

si ha

[math](x_1'-x_2')^2=(ax_1+by_1+c-ax_2-by_2-c)^2=\\ =[a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)]^2=\\ =a^2(x_1-x_2)^2+b^2(y_1-y_2)^2+2ab(x_1-x_2)(y_1-y_2)[/math]

e

[math](y_1'-y_2'^2)=(a'x_1+b'y_1+c'-a'x_2-b'y_2-c')^2=\\ =[a'(x_1-x_2)+b'(y_1-y_2)]^2=\\ a'^2(x_1-x_2)^2+b'^2(y_1-y_2)^2+2a'b'(x_1-x_2)(y_1-y_2)[/math]

da cui sommando

[math]d(P_1',P_2')^2=\\ =(a^2+a'^2)(x_1-x_2)^2+(b^2+b'^2)(y_1-y_2)^2+\\ +2(ab+a'b')(x_1-x_2)(y_1-y_2)[/math]

Tale valore deve però coincidere con

[math]d(P_1,P_2)=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2[/math]

Data l'arbitrarietà della scelta dei punti inziali, una tale uguaglianza sussiste se e solo se

[math]a^2+a'^2=1,\ b^2+b'^2=1,\ ab+a'b'=0[/math]

Dovendo valere anche la condizione

[math]ab'-a'b\not= 0[/math]

che garantisce la non degeneratezza della trasformazione, risolvendo il sistema nelle incognite

[math]a,a',b,b'[/math]

si vede che possiamo porre

[math]a=\cos\theta,\ a'=\sin\theta,\ b=-\sin\theta,\ b'=\cos\theta[/math]

e pertanto la matrice della trasformazione risulta una matrice ortogonale (una rotazione ortogonale).

Osserva invece che qualsiasi scelta del vettore

[math]C=(c,c')[/math]

(che definisce una traslazione) non influisce sulla qualità della trasformazione di essere una isometria.