Relazione di variazione limitata tra una funzione e le sue componenti

[Angus1956]

Si ha che $f:[a, b]->RR^n$ è $BV[a,b]$ (ovvero a variazione limitata) se e solo se lo sono tutte le sue funzioni componenti.
Posto $f(x)=(f_1(x),...,f_n(x))$ ricordiamo le relazioni $max{||f_1(x)||_{RR^n},...,||f_n(x)||_{RR^n}}<=||f(x)||_{RR^n}<=||f_1(x)||_{RR^n}+...+||f_n(x)||_{RR^n}$ per ogni $x in[a,b]$.
Supponiamo che $f$ sia a variazione limitata, sia $\sigma={a=x_0 Supponiamo ora che $f_i$ è a variazione limitata $AAiin{0,...,n}$, sia $\sigma={a=x_0 (poichè somma finita di quantità finite poichè $f_i$ è a variazione limitata $AAiin{0,...,n}$), ma allora $AA\sigmain\Omega[a,b]$ si ha che $v(f,\sigma)<+infty$ e quindi $f$ è a variazione limitata.

Può andar bene?