Relazione di ricorrenza legata ai polinomi di hermite

[qwertyuio1]

E' noto (per esempio da wikipedia) che la relazione di ricorrenza:
$H_n(x)=x H_{n-1}(x)-(n-1) H_{n-2}(x)$
$H_1(x)=x$
$H_0(x)=1$
è soddisfatta dai polinomi di Hermite, definiti come segue:
$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} D^{(n)} e^{-x^2/2}$
Ho provato a verificarlo e ci sono riuscito (se volete posto i passaggi).

Ora mi chiedevo se si riesce a dare una scrittura simile dei polinomi che verificano una relazione di ricorrenza modificata col $+$ al posto del $-$:
$P_n(x)=x P_{n-1}(x)+(n-1) P_{n-2}(x)$
$P_1(x)=x$
$P_0(x)=1$

[gugo82]

Si potrebbe usare la trasformata zeta in qualche modo...

Insomma, se chiami \(p(x;z)\) la trasformata zeta di \(P_n(x)\) (qui \(x\) è da ritenersi un parametro fissato), trasformando ambo i membri la ricorrenza:
\[
\begin{cases}
P_{n+2} (x) =x\ P_{n+1}(x) + (n+1)\ P_n (x)\\
P_0(x) = 1\\
P_1(x) = x
\end{cases}
\]
si trasforma in una EDO in \(p(x;z)\) rispetto alla variabile \(z\), la quale potrebbe essere risolta usando qualche funzione speciale (infatti, "a occhio", direi che la EDO che viene fuori non ha soluzioni elementari); una volta trovata la \(p(x;z)\), per determinare \(P_n(x)\) bisogna antitrasformare, e non la vedo semplice.

Probabilmente, però, con qualche trucco si può ricondurre la ricorrenza a qualcosa di noto.