Relazione angolare del gradiente
Ciao a tutti, sto scrivendo la tesi e ho bisogno di un risultato di analisi 2 che probabilmente è semplice, ma attualmente mi sfugge.
Sia data $f:\RR^{n}\to\RR$, $f\in C^{2}(\Omega)$, $\Omega$ aperto di $\RR^{n}$.
Siano $\vec{x}_{0}$ , $\vec{x}_{1}$ $\in\Omega$.
Che relazione c'è tra $\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0}$ e $\grad f(\vec{x}_{1})-\grad f(\vec{x}_{0})$?
Dovrei ottenere che sono NON paralleli, salvo casi molto particolari.
Sia data $f:\RR^{n}\to\RR$, $f\in C^{2}(\Omega)$, $\Omega$ aperto di $\RR^{n}$.
Siano $\vec{x}_{0}$ , $\vec{x}_{1}$ $\in\Omega$.
Che relazione c'è tra $\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0}$ e $\grad f(\vec{x}_{1})-\grad f(\vec{x}_{0})$?
Dovrei ottenere che sono NON paralleli, salvo casi molto particolari.
Risposte
Mah, non mi convince. Possono essere paralleli senza problemi. Per esempio sia \(\Omega=\mathbb{R}^2\) e \(\mathbf{x}_0=\mathbf{0}\). La funzione \(f(\mathbf{x})=x^2/2\) ha la proprietà che
\[\nabla f(\mathbf{x}_1)=\mathbf{x}_1\qquad \forall \mathbf{x}_1=(x, 0), \]
ovvero per ogni punto \(\mathbf{x}_1\) giacente sull'asse delle \(x\).
Evidentemente questo è un "caso molto particolare"? Purtroppo non riesco a capire a cosa tu ti riferisca.
\[\nabla f(\mathbf{x}_1)=\mathbf{x}_1\qquad \forall \mathbf{x}_1=(x, 0), \]
ovvero per ogni punto \(\mathbf{x}_1\) giacente sull'asse delle \(x\).
Evidentemente questo è un "caso molto particolare"? Purtroppo non riesco a capire a cosa tu ti riferisca.
Dimenticavo un dettaglio probabilmente molto importante:
$\grad f(\vec{x}) \!= 0$
La funzione $f$ inoltre è tale per cui l'Hessiana è definita positiva in qualsiasi punto.
$\grad f(\vec{x}) \!= 0$
La funzione $f$ inoltre è tale per cui l'Hessiana è definita positiva in qualsiasi punto.
Chiedo scusa, la cosa è molto più banale di quanto pensassi.
Mi bastava utilizzare il fatto che usando l'equazione della secante per approssimare l'Hessiana (è un problema di ottimizzazione), impongo indirettamente la condizione angolare tra i due vettori, ovvero l'angolo $\omega$ compreso tra i due deve essere tale per cui $0<|\omega|<\frac(\pi)(2)$.
Grazie lo stesso, anche senza volerlo mi hai dato uno spunto importante per capire l'inghippo.
Mi bastava utilizzare il fatto che usando l'equazione della secante per approssimare l'Hessiana (è un problema di ottimizzazione), impongo indirettamente la condizione angolare tra i due vettori, ovvero l'angolo $\omega$ compreso tra i due deve essere tale per cui $0<|\omega|<\frac(\pi)(2)$.
Grazie lo stesso, anche senza volerlo mi hai dato uno spunto importante per capire l'inghippo.
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