Regolarizzazione
Sia $G : (0,\infty)->RR$ tale che
1) $G\in C^{\infty}((0,\infty))$
2) risulta: $lim_{x->0}G(x)=\infty$ e $lim_{x->0}G'(x)=-\infty$
è vero che esiste una funzione $H\inC^{\infty}([0.\infty))$ tale che
1) $H(x)\leG(x)$
2) $|H'(x)|\le|G'(x)|$
?
1) $G\in C^{\infty}((0,\infty))$
2) risulta: $lim_{x->0}G(x)=\infty$ e $lim_{x->0}G'(x)=-\infty$
è vero che esiste una funzione $H\inC^{\infty}([0.\infty))$ tale che
1) $H(x)\leG(x)$
2) $|H'(x)|\le|G'(x)|$
?
Risposte
Io farei partire la costante da un punto sull'asse $y$ fino a toccare $G$, poi da li' in poi tieni la $G$. Se smussi l'angolo dovretsi riuscire, no? magari per convoluzione?
Ma se $lim_(xrightarrow 0)G(x)=oo$ come può $lim_(x rightarrow 0)G'(x)=-oo$? Essendo $G(x)$ continua in un intorno di $0$ deve essere ivi decrescente.
ciao... a me sembrerebbe di si... io credo che si potrebbe fare in questo modo:
visto che la derivata prima in un intorno destro di zero è negativa allora sia $[0,epsilon]$ tale intorno,
potresti definire la tua funzione $H$ in tale intorno facendo un'opportuna modifica della funzione $e^(-1/(x^2))$
e poi farla combaciare con $G$ al di fuori dell'intorno.
visto che la derivata prima in un intorno destro di zero è negativa allora sia $[0,epsilon]$ tale intorno,
potresti definire la tua funzione $H$ in tale intorno facendo un'opportuna modifica della funzione $e^(-1/(x^2))$
e poi farla combaciare con $G$ al di fuori dell'intorno.
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