Regolarità interna delle misure di Borel

[dissonance]

Per via di un corso di Analisi che ho frequentato, sto studiando un po' di questioni orbitanti attorno al teorema di rappresentazione integrale di Riesz, però senza nessuna dimostrazione. Ora il professore ha fornito la seguente definizione:


Definizione: Sia [tex]X[/tex] uno spazio topologico di Hausdorff e localmente compatto. Una misura positiva [tex]\mu[/tex] definita sulla sigma-algebra di Borel [tex]\mathcal{B}(X)[/tex] e finita sui compatti si dice regolare se:
[list=1][*:34iv0ui8][tex]\mu[/tex] è esternamente regolare nel senso che
[tex]$\forall B \in \mathcal{B}(X),\ \mu(B)=\inf\{ \mu(U) \mid B \subset U,\ U\ \text{aperto}\}[/tex];
[/*:m:34iv0ui8]
[*:34iv0ui8][tex]\mu[/tex] è internamente regolare sugli aperti nel senso che
[tex]$\forall U \subset X\ \text{aperto},\ \mu(U)=\sup\{ \mu(K) \mid K \subset U,\ K\ \text{compatto}\}[/tex].[/*:m:34iv0ui8][/list:o:34iv0ui8]

Con questa definizione poi lui può formulare il teorema di Riesz dicendo che ogni forma lineare positiva su [tex]C_c(X)[/tex] corrisponde ad una misura di questo genere. Ora per una questione di compatibilità con Real and complex analysis io presumo che debba essere vera la seguente proposizione:

Proposizione: Siano [tex]X[/tex] e [tex]\mu[/tex] come sopra. Allora [tex]\mu[/tex] è internamente regolare su tutti i Boreliani di misura finita, ovvero

[tex]$\forall B \in \mathcal{B}(X),\ \mu(B) < \infty\ :\ \mu(B)=\sup\{ \mu(K) \mid K \subset B,\ K\ \text{compatto}\}.[/tex]

Ma è vero?

[Rigel1]

E' sicuramente vero se $X$ è uno spazio metrico localmente compatto e separabile, e $\mu$ è $\sigma$-finita.
La versione del teorema di Riesz da te riportata mi sembra quella del Lang, "Real and Functional Analysis"; magari prova a spulciare un po' lì per vedere se trovi qualche dettaglio in proposito.

[dissonance]

E' sicuramente vero se X è uno spazio metrico localmente compatto e separabile

... ah, si: perché in queste ipotesi ogni misura di Borel finita sui compatti è automaticamente regolare in tutti i sensi (dall'interno e dall'esterno), come leggo su Real and complex analysis, Theorem 2.18. Quindi sostanzialmente mi dici: nei casi "buoni", non ci sono tutte queste sofisticherie e il problema non si pone. Ok. Comunque se trovo ulteriori informazioni lo faccio sapere qui. Grazie!

[dissonance]

Segnalo che ho trovato la risposta alla prima domanda di questo topic sul testo di Folland Real Analysis, 2a edizione. La risposta è positiva, una misura finita sui compatti, esternamente regolare e internamente regolare sugli aperti è automaticamente regolare su tutte le parti di misura finita e anche sulle parti $sigma$-finite. La dimostrazione è pure facile e si può trovare a pagina 216, proposizione 7.5.

[Rigel1]

Grazie per la segnalazione.