Regolarità ed iniettività
Buonasera,
in alcuni esercizi mi si chiede di stabilire se certe curve o superfici siano regolari, iniettive, ... Sulla regolarità non ho dubbi. Sull'iniettività qualche dubbio ce l'ho. Cioè: conoscendo la definizione di funzione iniettiva, a me viene da immaginare curve e superfici iniettive come curve e superfici... senza autointersezioni! Sulle curve il concetto è giusto, sulle superfici credo di no perché le dispense dicono che la superficie sferica non è iniettiva se si considera il dominio $Omega_1=[0,2pi]xx[-pi/2,pi/2]$ mentre lo è se si considera $Omega_2=[0,2pi]xx(-pi/2,pi/2)$. Quindi le autointersezioni pare non c'entrino nulla. Anzi, le dispense dicono che per avere la superficie sferica iniettiva $Omega_2$ va bene e $Omega_1$ no perché la superficie sferica non è regolare se $v=+-pi/2$. Quindi mi pare ci sia correlazione tra regolarità ed iniettiva. E' giusto pensare che curve e superfici siano iniettive se e solo se regolari?
Grazie.
in alcuni esercizi mi si chiede di stabilire se certe curve o superfici siano regolari, iniettive, ... Sulla regolarità non ho dubbi. Sull'iniettività qualche dubbio ce l'ho. Cioè: conoscendo la definizione di funzione iniettiva, a me viene da immaginare curve e superfici iniettive come curve e superfici... senza autointersezioni! Sulle curve il concetto è giusto, sulle superfici credo di no perché le dispense dicono che la superficie sferica non è iniettiva se si considera il dominio $Omega_1=[0,2pi]xx[-pi/2,pi/2]$ mentre lo è se si considera $Omega_2=[0,2pi]xx(-pi/2,pi/2)$. Quindi le autointersezioni pare non c'entrino nulla. Anzi, le dispense dicono che per avere la superficie sferica iniettiva $Omega_2$ va bene e $Omega_1$ no perché la superficie sferica non è regolare se $v=+-pi/2$. Quindi mi pare ci sia correlazione tra regolarità ed iniettiva. E' giusto pensare che curve e superfici siano iniettive se e solo se regolari?
Grazie.
Risposte
Innanzitutto attento: una curva che ha autointersezioni non è sicuramente iniettiva, ma una curva senza autointersezioni non è detto che lo sia!
Diciamo che probabilmente questo ti ha mandato fuori strada, senonché pensare alla regolarità ha provveduto a farti ulteriore confusione: per la regolarità di una superficie si richiede che la funzione debba essere iniettiva, ma non è vero il viceversa.
A parer mio risolvi tutto il tuo problema se ragioni sul legame tra autointersezioni e iniettività (senza nemmeno considerare la regolarità).
Ciao!
Diciamo che probabilmente questo ti ha mandato fuori strada, senonché pensare alla regolarità ha provveduto a farti ulteriore confusione: per la regolarità di una superficie si richiede che la funzione debba essere iniettiva, ma non è vero il viceversa.
A parer mio risolvi tutto il tuo problema se ragioni sul legame tra autointersezioni e iniettività (senza nemmeno considerare la regolarità).
Ciao!
C'è un problema di definizioni: in geometria, nessuno si sognerebbe di dire che la sfera può "non essere regolare", ma evidentemente nel corso di analisi seguito da Bubbino si è usata una terminologia così. In ogni caso sono d'accordo con seb che i concetti di "regolarità" e di "ingettività di una parametrizzazione" non c'entrano nulla.
Grazie per le risposte. Sulle dispense dice di considerare la funzione $f:Omega sube RR^2 rarr RR^3$ tale che $f=((Rcosucosv),(Rsinucosv),(Rsinv)),Omega=(0,2pi)xx(-pi/2,pi/2)$ e dice che parametrizza la superficie sferica di centro l'origine e raggio $R$ privata della semicirconferenza intersezione con il piano $xz$ nella parte dove $x>=0$ e che inoltre $f$ è iniettiva. Ma poi dice che, estendendo il dominio alla sua chiusura $hatOmega=[0,2pi]xx[-pi/2,pi/2]$, la funzione $f$ parametrizza tutta la superficie sferica, ma non risulta regolare per $v=+-pi/2$ e non è iniettiva. Ora, da come mi avete detto, alcune cose le ho capite:
$1.$ se ci sono autointersezioni, la curva o superficie non è iniettiva;
$2.$ se non ci sono autointersezioni, nulla si può dire;
$3.$ se la curva o superficie è regolare, è anche iniettiva;
$4.$ se la curva o superficie non è regolare, nulla si può dire.
Dunque, se non ci sono autointersezioni e la curva o superficie non è regolare, come si può fare a stabilire se è iniettiva? In un esercizio avevo risolto così, ma a questo punto non so se è giusto.
Consegna: "Vedere su quale dominio di definizione la parametrizzazione $f(u,v)=((vcosu),(vsinu),(v))$ è iniettiva.".
$f_u=((-vsinu),(vcosu),(0)),f_v=((cosu),(sinu),(1))$
$f_u ^^ f_v=((vcosu),(vsinu),(-v))!=0 harr v!=0$
La superficie conica è regolare (ed iniettiva) se $u in [0,2pi],v in(-infty,0)$ o $u in [0,2pi], v in (0,infty)$.
Grazie.
$1.$ se ci sono autointersezioni, la curva o superficie non è iniettiva;
$2.$ se non ci sono autointersezioni, nulla si può dire;
$3.$ se la curva o superficie è regolare, è anche iniettiva;
$4.$ se la curva o superficie non è regolare, nulla si può dire.
Dunque, se non ci sono autointersezioni e la curva o superficie non è regolare, come si può fare a stabilire se è iniettiva? In un esercizio avevo risolto così, ma a questo punto non so se è giusto.
Consegna: "Vedere su quale dominio di definizione la parametrizzazione $f(u,v)=((vcosu),(vsinu),(v))$ è iniettiva.".
$f_u=((-vsinu),(vcosu),(0)),f_v=((cosu),(sinu),(1))$
$f_u ^^ f_v=((vcosu),(vsinu),(-v))!=0 harr v!=0$
La superficie conica è regolare (ed iniettiva) se $u in [0,2pi],v in(-infty,0)$ o $u in [0,2pi], v in (0,infty)$.
Grazie.
Qui (viewtopic.php?f=36&t=168952) si dice che per vedere se una funzione a una variabile è iniettiva bisogna vedere se la derivata non cambia segno, quindi bene o male per le curve non coincide con farne la derivata e vedere se è sempre non nulla!?
"Bubbino1993":
Qui (viewtopic.php?f=36&t=168952) si dice che per vedere se una funzione a una variabile è iniettiva bisogna vedere se la derivata non cambia segno, quindi bene o male per le curve non coincide con farne la derivata e vedere se è sempre non nulla!?
No. Fai la prova con questa curva:
\[
\gamma \colon \mathbb R\to \mathbb R^2,\quad \gamma(t)=(\cos t, \sin t).\]
La derivata è sempre non nulla e quindi la curva è regolare. Però non è iniettiva. Ma sopra non avevamo detto che per essere regolare dev'essere comunque iniettiva? Scusa, ma non ho capito ancora come vedere se curve e superfici sono iniettive. Per le curve potrei dire che la curva è iniettiva se e solo se le componenti sono iniettive? Per le superfici ho messo un esempio sopra: ho sbagliato nell'esercizio?
"seb":
per la regolarità di una superficie si richiede che la funzione debba essere iniettiva
ma non è richiesto per le curve.
Per verificare l'iniettività è sufficiente applicare la definizione (una delle). Vogliamo determinare, allora, se \(\forall u_i,v_i\in dom(f)\), \(i=1,2\), si ha che \(f(u_1,v_1)=f(u_2,v_2)\implies u_1=u_2\wedge v_1=v_2\). Abbiamo:
\begin{cases}
v_1\cos{u_1}=v_2\cos{u_2}\\
v_1\sin{u_1}=v_2\sin{u_2}\\
v_1=v_2
\end{cases}
Assodata la condizione \(v_1=v_2\), se \(v_i=0\), allora \(f\) non è iniettiva. Escluso tale caso, non resta che controllare su
\begin{cases}
\cos{u_1}=\cos{u_2}\\
\sin{u_1}=\sin{u_2}
\end{cases}
che verifica \(u_1=u_2,\,\forall u_i\in[0,2\pi)\).
Spero sia più chiaro ora
"seb":
Vogliamo determinare, allora, se \(\forall u_i,v_i\in dom(f)\), \(i=1,2\), si ha che \(f(u_1,v_1)=f(u_2,v_2)\implies u_1=u_2\wedge v_1=v_2\). Abbiamo:
\begin{cases}
v_1\cos{u_1}=v_2\cos{u_2}\\
v_1\sin{u_1}=v_2\sin{u_2}\\
v_1=v_2
\end{cases}
Questo sistema ha soluzione $v_(1,2)=0,AA u_(1,2) in [0,2pi) vv v_1=v_2 in RR-{0},u_1=u_2 in [0,2pi)$. Quindi $f$ è iniettiva se e solo se $u in [0,2pi),v in RR-{0}$. Capito. Per le curve invece considerando ad esempio la circonferenza goniometrica ho ${(cost_1=cost_2),(sint_1=sint_2):}$. Questo sistema ha soluzione $t_1=t_2 in [0,2pi)$. Quindi sarebbe iniettiva, ma in realtà non lo è. Non capisco, scusa.
Eh, no: in \([0,2\pi)\) è assolutamente iniettiva. In \(\mathbb{R}\) non è un'iniezione, ma nemmeno in \([0,2\pi]\) e questo è un esempio per cui, pur non avendo autointersezioni, una curva può non essere ingettiva.
Ora ho capito, grazie.
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